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2016年上海高考数学（理科）真题

一、解答题（本大题共有14题，满分56分）

1. 设
，则不等式
的解集为________________

【答案】

【解析】
，即
，故解集为

2. 设
，其中
为虚数单位，则
_________________

【答案】

【解析】
，故

3.
:
,
:
, 则
的距离为__________________

【答案】

【解析】

4. 某次体检，
位同学的身高（单位:米）分别为
，则这组数据的中位数是___

（米）

【答案】

5. 已知点
在函数
的图像上，则
的反函数
____________

【答案】

【解析】
，故
，

∴

∴

6. 如图，在正四棱柱
中，底面
的边长为
，
与底面所成角的大小为
，

则该正四棱柱的高等于____________________

【答案】

【解析】
,

7. 方程
在区间
上的解为________________

【答案】

【解析】
，即

∴

∴

∴

8. 在
的二项式中，所有项的二项式系数之和为
，则常数项等于_______________

【答案】

【解析】
，

通项

取

常数项为

9. 已知
的三边长为
，则该三角形的外接圆半径等于________________

【答案】

【解析】
，

∴

∴

10. 设
，若关于
的方程组
无解，则
的取值范围是_____________

【答案】

【解析】由已知，
，且
，∴

11. 无穷数列
由
个不同的数组成，
为
的前
项和，若对任意
，
，则
的最大

值为___________

【答案】

12. 在平面直角坐标系中，已知
,
,
是曲线
上一个动点，则
的取值范围

是____________

【答案】

【解析】设
,
，
,

13. 设
,
，若对任意实数
都有
，则满足条件的有序实数组

的组数为______________

【答案】

【解析】(i)若

若
，则
； 若
，则

(ii)若
，若
，则
；若
，则

共
组

14. 如图，在平面直角坐标系
中，
为正八边形
的中心，
，任取不同的两点
，点
满足
，则点
落在第一象限的概率是_______________

【答案】

【解析】

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15. 设
，则“
”是“
”的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】
时，
达到最大

17. 已知无穷等比数列
的公比为
，前
项和为
，且
，下列条件中，使得
恒成立的是( )

A.
,
B.
,

C.
,
D.
,

【答案】B

【解析】
,
,

，即

若
，则
，不可能成立

若
，则
，B成立

18. 设
是定义域为
的三个函数，对于命题:①若
，
，
均为增函数，则
中至少有一个为增函数；②若
，
，
均是以
为周期的函数，则
均是以
为周期的函数，下列判断正确的是( )

A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】①不成立，可举反例

,
,

②

前两式作差，可得

结合第三式，可得
,

也有

∴②正确

故选D

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19. （本题满分12分）将边长为
的正方形
（及其内部）绕
旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长为
，其中
与
在平面
的同侧

(1) 求三棱锥
的体积

(2) 求异面直线
与
所成角的大小

【解析】(1) 连
，则

∴
为正三角形

∴

∴

(2) 设点
在下底面圆周的射影为
，连
，则

∴
为直线
与
所成角（或补角）

连

,

∴

∴

∴
为正三角形

∴

∴

∴

∴直线
与
所成角大小为

20．（本题满分14分）

有一块正方形菜地
,
所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到
点或河边运走。于是，菜

地分为两个区域
和
，其中
中的蔬菜运到河边较近，
中的蔬菜运到
点较近，而菜地内
和

的分界线
上的点到河边与到
点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点
为
的中点，

点
的坐标为
，如图

(1) 求菜地内的分界线
的方程

(2) 菜农从蔬菜运量估计出
面积是
面积的两倍，由此得到
面积的“经验值”为
。设
是
上

纵坐标为
的点，请计算以
为一边，另一边过点
的矩形的面积，及五边形
的面积，并

判断哪一个更接近于
面积的经验值

【解析】(1) 设分界线上任一点为
，依题意

可得

(2) 设
，则

∴

∴设所表述的矩形面积为
，则

设五边形
面积为
，则

,

∴五边形
的面积更接近
的面积

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

双曲线
的左、右焦点分别为
、
，直线
过
且与双曲线交于
两点

(1) 若
的倾斜角为
，
是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

(2) 设
，若
的斜率存在，且
，求
的斜率

【解析】(1)由已知
,

取
，得

∵
,

∴

即

∴

∴渐近线方程为

(2)若
，则双曲线为

∴
,

设
,
，则

,
,

∴

(*)

∵

∴

∴代入(*)式，可得

直线
的斜率存在，故

∴

设直线
为
，代入

得

∴
，且