2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分

参考公式：

如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，

P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．

柱体的体积公式V 柱体=Sh， 圆锥的体积公式V =
Sh

其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S表示锥体的底面积，h表示圆锥的高．

h 表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合

则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】

试题分析：
选D.

考点：集合运算

（2）设变量x，y满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）

（A）
（B）6 （C）10 （D）17

【答案】B

考点：线性规划

（3）在△ABC中，若
,BC=3，
,则AC= （ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【答案】A

【解析】

试题分析：由余弦定理得
,选A.

考点：余弦定理

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

【答案】B

【解析】

试题分析：依次循环：
结束循环，输出
，选B.

考点：循环结构流程图

（5）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n?1+a2n<0”的（ ）

（A）充要条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，
，故是必要不充分条件，故选C.

考点：充要关系

（6）已知双曲线
（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

考点：双曲线渐近线

（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点
分别是边
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

【解析】

试题分析：设
，
，∴
，
，

，∴
，故选B.

考点：向量数量积

（8）已知函数f（x）=
（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程
恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）

（A）（0，
] （B）[
，
] （C）[
，
]
{
}（D）[
，
）
{
}

【答案】C

考点：函数性质综合应用

第Ⅱ卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知
，i是虚数单位，若
，则
的值为_______.

【答案】2

【解析】

试题分析：
，则
，所以
，
，故答案为2．

考点：复数相等

（10）
的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)

【答案】

【解析】

试题分析：展开式通项为
，令
，
，所以
的
．故答案为
．

考点：二项式定理

（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

（第11题图）

【答案】2

考点：三视图

（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

【答案】

【解析】

试题分析：设
，则由相交弦定理得
，
，又
，所以
，因为
是直径，则
，
，在圆中
，则
，即
，解得

考点：相交弦定理

（13）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-
，0）上单调递增.若实数a满足
，则a的取值范围是______.

【答案】

考点：利用函数性质解不等式

(14) 设抛物线
，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（
p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为
，则p的值为_________.

【答案】

【解析】

试题分析：抛物线的普通方程为
，
，
，又
，则
，由抛物线的定义得
，所以
，则
，由
得
，即
，所以
，
，所以
，
．

考点：抛物线定义

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

（15）已知函数f(x)=4tanxsin(
)cos(
)-
.

(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）讨论f(x)在区间[
]上的单调性.

【答案】（Ⅰ）
，
（Ⅱ）在区间
上单调递增, 在区间
上单调递减.

解：令
函数
的单调递增区间是

由
,得

设
，易知
.

所以, 当
时,
在区间
上单调递增, 在区间
上单调递减.

考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式

(16) （本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（II）设
为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）详见解析

随机变量
的所有可能取值为

，

，

.

所以，随机变量
分布列为



















随机变量
的数学期望
.

考点：概率，概率分布与数学期望

(17) （本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值；

（III）设H为线段AF上的点，且AH=
HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
（Ⅲ）

.

（I）证明：依题意，
.设
为平面
的法向量，则
，即
.不妨设
，可得
，又
，可得
，又因为直线
，所以
.

（III）解：由
，得
.因为
，所以
，进而有
，从而
，因此
.所以，直线
和平面
所成角的正弦值为
.

考点：利用空间向量解决立体几何问题

(18) 已知
是各项均为正数的等差数列，公差为
，对任意的
是
和
的等差中项.

(Ⅰ)设
，求证：
是等差数列；

(Ⅱ)设
，求证：

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和

（19）（本小题满分14分）

设椭圆
（
）的右焦点为
，右顶点为
，已知
，其中
为原点，
为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线
与椭圆交于点
（
不在
轴上），垂直于
的直线与
交于点
，与
轴交于点
，若
，且
，求直线的
斜率的取值范围.

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）

【解析】

（2）（Ⅱ）解：设直线
的斜率为
（
），则直线
的方程为
.设
，由方程组
，消去
，整理得
.

解得
，或
，由题意得
，从而
.

由（Ⅰ）知，
，设
，有
，
.由
，得
，所以
，解得
.因此直线
的方程为
.

设
，由方程组
消去
，解得
.在
中，
，即
，化简得
，即
，解得
或
.

所以，直线
的斜率的取值范围为
.

考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

（20）（本小题满分14分）

设函数
,
，其中

(I)求
的单调区间；

(II) 若
存在极值点
，且
，其中
，求证：
；

（Ⅲ）设
，函数
，求证：
在区间
上的最大值不小于
.

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

（1）当
时，有
恒成立，所以
的单调递增区间为
.

（2）当
时，令
，解得
，或
.

当
变化时，
，
的变化情况如下表：















＋

0

－

0

＋