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试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】

试题分析：因为
所以
故选D.

考点：集合运算

（2）设
，其中
，
实数，则

（A）1 （B）
（C）
（D）2

【答案】B

考点：复数运算

（3）已知等差数列
前9项的和为27，
，则

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知，
所以
故选C.

考点：等差数列及其运算

（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，时间总长度为30，等车不超过10分钟，故所求概率为
，选A.

考点：几何概型

（5）已知方程
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

考点：双曲线的性质

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
，则它的表面积是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】

试题分析：由三视图知：该几何体是
个球，设球的半径为
，则
，解得
，所以它的表面积是
，故选A．学优高考网

考点：三视图及球的表面积与体积

（7）函数
在
的图像大致为

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】D

考点：函数图像与性质

（8）若
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】

试题分析：用特殊值法，令
，
，
得
，选项A错误，
，选项B错误，
，选项C正确，
，选项D错误，故选C．

考点：指数函数与对数函数的性质

（9）执行右面的程序框图，如果输入的
，则输出x，y的值满足

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

考点：程序框图与算法案例

(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=
，|DE|=
，则C的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

【答案】B

【解析】

试题分析：如图，设抛物线方程为
，
交
轴于
点，则
，即
点纵坐标为
，则
点横坐标为
，即
，由勾股定理知
，
，即
，解得
，即
的焦点到准线的距离为4，故选B.

考点：抛物线的性质.

(11)平面
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，
//平面CB1D1，
平面ABCD=m，
平面AB B1A1=n，则m、n所成角的正弦值为

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】A

考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.

12.已知函数
为
的零点，
为
图像的对称轴，且
在
单调，则
的最大值为

（A）11????????（B）9?????（C）7????????（D）5

【答案】B

考点：三角函数的性质

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= .

【答案】

【解析】

试题分析：由
，得
，所以
，解得
.

考点：向量的数量积及坐标运算

(14)
的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）

【答案】

【解析】

试题分析：
的展开式通项为
(
，1，2，…，5)，令
得
，所以
的系数是
.

考点:二项式定理

（15）设等比数列
满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为 ．

【答案】

考点：等比数列及其应用

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．

【答案】

【解析】

试题分析：设生产产品
、产品
分别为
、
件，利润之和为
元，那么

①

目标函数
.

二元一次不等式组①等价于

②

作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.

将
变形，得
，平行直线
，当直线
经过点
时，
取得最大值.

解方程组
，得
的坐标
.

所以当
，
时，
.

故生产产品
、产品
的利润之和的最大值为
元. 学优高考网

考点：线性规划的应用

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17） （本小题满分为12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若
的面积为
，求
的周长．

【答案】（I）
（II）

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

（18）（本小题满分为12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，
，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是
．

（I）证明：平面ABEF
平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．



（II）过
作
，垂足为
，由（I）知
平面
．

以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，
为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系
．

由（I）知
为二面角
的平面角，故
，则
，
，可得
，
，
，
．

由已知，
，所以
平面
．

又平面
平面
，故
，
．

由
，可得
平面
，所以
为二面角
的平面角，

．从而可得
．

所以
，
，
，
．

设
是平面
的法向量，则

，即
，

所以可取
．

设
是平面
的法向量，则
，

同理可取
．则
．

故二面角
的余弦值为
．学优高考网

考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记
表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，
表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求
的分布列；

（II）若要求
，确定
的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？

【答案】（I）见解析（II）19（III）

试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

；

；

；

；

；

；

.

所以
的分布列为

16

17

18

19

20

21

22





















（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，故
的最小值为19.

考点：概率与统计、随机变量的分布列

20. （本小题满分12分）设圆
的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明
为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）
（
）（II）

【解析】

试题分析：利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为x斜率k的函数，再求最值。

试题解析：（Ⅰ）因为
，
，故
，

所以
，故
.

又圆
的标准方程为
，从而
，所以
.

由题设得
，
，
，由椭圆定义可得点
的轨迹方程为：

（
）.

考点：圆锥曲线综合问题

（21）（本小题满分12分）已知函数
有两个零点.

(I)求a的取值范围；

(II)设x1，x2是
的两个零点，证明：
.

【答案】

【解析】

试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定，主要要根据导函数零点来分类；(II)借组第一问的