2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.【题设】设集合
，Z为整数集，则
中元素的个数是

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意，
，故其中的元素个数为5，选C.

考点：集合中交集的运算.

2. 【题设】设i为虚数单位，则
的展开式中含x4的项为

（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4

【答案】A

考点：二项展开式，复数的运算.

3. 【题设】为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点

（A）向左平行移动
个单位长度 （B）向右平行移动
个单位长度

（C）向左平行移动
个单位长度 （D）向右平行移动
个单位长度

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意，为得到函数
，只需把函数
的图像上所有点向右移
个单位，故选D.

考点：三角函数图像的平移.

4. 【题设】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

（A）24 （B）48 （C）60 （D）72

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有
，所以其中奇数的个数为
，故选D. ?

考点：排列、组合

5. 【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年

【答案】B

考点：等比数列的应用.

6. 【题设】秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

（A）9 （B）18 （C）20 （D）35

【答案】B

考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.

7. 【题设】设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足
则p是q的

（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域
在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.

考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.

8. 【题设】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
上任意一点，M是线段PF上的点，且
=2
,则直线OM的斜率的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）1

【答案】C

【解析】

试题分析：设
（不妨设
），则

，故选C.

考点：1.抛物线的简单的几何性质；2.平面向量的线性运算. ?

9. 【题设】设直线l1，l2分别是函数f(x)=
图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)

【答案】A

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

10. 【题设】在平面内，定点A，B，C，D满足
=
=
,
﹒
=
﹒
=
﹒
=-2，动点P，M满足
=1，
=
，则
的最大值是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

【解析】

试题分析：甴已知易得
.以
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，则
设
由已知
，得
，又

，它表示圆
上点
与点
距离平方的
，
，故选B。

考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 【题设】cos2
–sin2
= .

【答案】

考点：三角函数半角公式

12. 【题设】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .

【答案】

【解析】

试题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数
的取值为
，其中

在1次试验中成功的概率为
，

所以在2次试验中成功次数
的概率为
，
，

考点：离散型随机变量的均值

13. 【题设】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 。

【答案】

考点：三视图，几何体的体积.

14. 【题设】已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=
，则f（
）+ f（1）= 。

【答案】-2

【解析】

试题分析：因为函数
是定义在
上周期为2的奇函数，所以

，所以
，即
，
，所以
.

考点：函数的奇偶性和周期性.

15．【题设】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为
；

当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线
定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点
，则点
的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”
关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

【答案】②③

考点：对新定义的理解、函数的对称性.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. 【题设】（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准
（吨）、一位居民的月用水量不超过
的部分按平价收费，超出
的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中a的值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准
（吨），估计
的值，并说明理由.

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．

?

考点：频率分布直方图.

17. 【题设】（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
.

（I）证明：
；

（II）若
，求
.

【答案】（1）证明详见解析；（2）4.

考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.

18. 【题设】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，
ADC=
PAB=90°，BC=CD=
AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
.

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA
AD=A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以
PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以
PDA=45°.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以
APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，
AEH=45°，AE=1，

所以AH=
.

在Rt△PAH中，PH=
=
，

所以sin
APH=
=
.

所以
=（1,0,-2），
=（1,1,0），
=（0,0,2）

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，

由
得
设x=2，解得n=(2,-2,1).

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=
=
.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为
.

考点：线线平行、线面平行、向量法. ?

19. 【题设】（本小题满分12分）

已知数列{
}的首项为1，
为数列{
}的前n项和，
，其中q>0，
.

（I）若
成等差数列，求an的通项公式；

(ii)设双曲线
的离心率为
，且
，证明：
.

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.

试题解析：（Ⅰ）由已知，
两式相减得到
.

又由
得到
，故
对所有
都成立.

所以，数列
是首项为1，公比为q的等比数列.

从而
.

由
成等比数列，可得
，即
，则
，

由已知,
，故
.

所以
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
.

所以双曲线
的离心率
.

由
解得
.

因为
，所以
.

于是
，

故
.

考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.

20. 【题设】（本小题满分13分）

已知椭圆E：
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣· ∣PB∣，并求λ的值.

【答案】（I）
，点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）
.

有方程组
得
.①

方程①的判别式为
，由
，得
，

此方程①的解为
，

所以椭圆E的方程为
.

点T坐标为（2,1）.

由②得
.

所以
，

同理
，

所以

.

故存在常数
，使得
.

考点：椭圆的标准方程及其几何性质. ?

21. 【题设】（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得f(x) ＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

【答案】（Ⅰ）当

时，
<0，
单调递减；当

时，
>0，
单调递增；（Ⅱ）
.

考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.

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