2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学理

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
则

A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．

【答案】B

【解析】根据补集的运算得
．故选B．

2. 已知互相垂直的平面
交于直线l.若直线m，n满足
则

A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

【答案】C

3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域

中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=

A．2
B．4 C．3
D．

【答案】C

【解析】如图
为线性区域，区域内的点在直线
上的投影构成了线段
，即
，而
，由
得
，由
得
，
．故选C．

4. 命题“
，使得
”的定义形式是

A．
，使得
B．
，使得

C．
，使得
D．
，使得

【答案】D

【解析】
的否定是
，
的否定是
，
的否定是
．故选D．

5. 设函数
，则
的最小正周期

A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关

【答案】B

6. 如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且
，

，（
）.

若

A．
是等差数列 B．
是等差数列

C．
是等差数列 D．
是等差数列

【答案】A

【解析】
表示点
到对面直线的距离（设为
）乘以
长度一半，即
，由题目中条件可知
的长度为定值，那么我们需要知道
的关系式，过
作垂直得到初始距离
，那么
和两个垂足构成了等腰梯形，那么
，其中
为两条线的夹角，即为定值，那么
，
，作差后：
，都为定值，所以
为定值．故选A．学优高考网

7. 已知椭圆C1：
+y2=1(m>1)与双曲线C2：
–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则

A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m

【答案】A

【解析】由题意知
，即
，
，代入
，得
．故选A．

8. 已知实数a，b，c

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100

【答案】D

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9. 若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

【答案】

【解析】

10. 已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．

【答案】

【解析】
，所以

11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.

【答案】

【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为
，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为

12. 已知a>b>1.若logab+logba=
，ab=ba，则a= ，b= .

【答案】

【解析】设
，因为
，

因此

13.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .

【答案】

14. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .

【答案】

【解析】
中，因为
，

所以
.

由余弦定理可得

，

所以
.

设
，则
，
.

在
中，由余弦定理可得

.

故
.

在
中，
，
.

由余弦定理可得
，

所以
.

过
作直线
的垂线，垂足为
.设

则
，

即
，

解得
.

而
的面积
.

设
与平面
所成角为
，则点
到平面
的距离
.

故四面体
的体积

.

设
，因为
，所以
.

则
.

（2）当
时，有
，

故
.

此时，

.

由（1）可知，函数
在
单调递减，故
.

综上，四面体
的体积的最大值为
.

15. 已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜

,则a·b的最大值是 ．

【答案】

【解析】
，即最大值为

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.

（I）证明：A=2B；

（II）若△ABC的面积
，求角A的大小.

【试题分析】（I）由正弦定理及两角和的正弦公式可得
，再判断
的取值范围，进而可证
；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得
，再利用三角形的内角和可得角
的大小．

（II）由
得
，故有

，

因
，得
．

又
，
，所以
．

当
时，
；

当
时，
．

综上，
或
．

17. (本题满分15分)如图,在三棱台
中,平面
平面

,
,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(I)求证：EF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【试题分析】（I）先证
，再证
，进而可证
平面
；（II）方法一：先找二面角
的平面角，再在
中计算，即可得二面角
的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面
和平面
的法向量，进而可得二面角
的平面角的余弦值．学优高考网

（II）方法一：

过点
作
，连结
．

因为
平面
，所以
，则
平面
，所以
．

所以，
是二面角
的平面角．

在
中，
，
，得
．

在
中，
，
，得
．

所以，二面角
的平面角的余弦值为
．

18. （本小题15分）已知
，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，

其中min{p，q}=

（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围；

（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

【试题分析】（I）分别对
和
两种情况讨论
，进而可得使得等式
成立的
的取值范围；（II）（i）先求函数
，
的最小值，再根据
的定义可得
的最小值
；（ii）分别对
和
两种情况讨论
的最大值，进而可得
在区间
上的最大值
．

（II）（i）设函数
，
，则

，
，

所以，由
的定义知
，即

．

（ii）当
时，

，

当
时，

．

所以，

．

19. （本题满分15分）如图，设椭圆
（a＞1）.

（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

【试题解析】（I）设直线
被椭圆截得的线段为
，由
得

，

故

，
．

因此

．

（II）假设圆与椭圆的公共点有
个，由对称性可设
轴左侧的椭圆上有两个不同的点
，
，满足

．

记直线
，
的斜率分别为
，
，且
，
，
．

20.（本题满分15分）设数列
满足
，
．

（I）证明：
，
；

（II）若
，
，证明：
，
．

【试题分析】（I）先利用三角形不等式得
，变形为
，再用累加法可得
，进而可证
；（II）由（I）可得
，进而可得
，再利用