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2016普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1）设集合S=
，则S
T=

(A) [2，3] (B)（-
，2]
[3,+
）

(C) [3,+
） (D)（0，2]
[3,+
）

【答案】D

考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．

（2）若
，则

(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i

【答案】C

【解析】

试题分析：
，故选C．

考点：1、复数的运算；2、共轭复数．

（3）已知向量
,
则
ABC=

(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意，得
，所以
，故选A．

考点：向量夹角公式．

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是

(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大

(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C的月份有5个

【答案】D

考点：1、平均数；2、统计图

（5）若
，则

(A)
(B)
(C) 1 (D)

【答案】A

【解析】

试题分析：由
，得
或
，所以

，故选A．

考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．

（6）已知
，
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】

试题分析：因为
，
，所以
，故选A．

考点：幂函数的图象与性质．

（7）执行下图的程序框图，如果输入的
，那么输出的

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

【答案】B

考点：程序框图．

（8）在
中，
，BC边上的高等于
,则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】

试题分析：设
边上的高线为
，则
，所以
，
．由余弦定理，知
，故选C．

考点：余弦定理．

(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A）
（B）
（C）90 （D）81

【答案】B

考点：空间几何体的三视图及表面积．

(10) 在封闭的直三棱柱
内有一个体积为V的球，若
，
，
，
，

则V的最大值是

（A）4π （B）
（C）6π （D）

【答案】B

【解析】

试题分析：要使球的体积
最大，必须球的半径
最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值
，此时球的体积为
，故选B．

考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．

（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P

为C上一点，且
轴.过点A的直线l与线段
交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中

点，则C的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

考点：椭圆方程与几何性质．

（12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意
，

中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有

（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意，得必有
，
，则具体的排法列表如下：

0

0

0

0

1gkstkCom

1

1

1









1

0

1

1













1

0

1















1

0









1

0

0

1

1













1

0

1















1

0











1

0

0

1















1

0








1

0

0

0

1

1













1

0

1















1

0











1

0

0

1















1

0





考点：计数原理的应用．

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若
满足约束条件
则
的最大值为_____________.

【答案】

考点：简单的线性规划问题．

（14）函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移_____________个

单位长度得到．

【答案】

【解析】

试题分析：因为
，
＝

，所以函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移
个单位长度得到．

考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．

（15）已知
为偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程

是_______________。

【答案】

考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．

（16）已知直线
：
与圆
交于
两点，过
分别做
的垂线与
轴

交于
两点，若
，则
__________________.

【答案】4

【解析】

试题分析：因为
，且圆的半径为
，所以圆心
到直线
的距离为
，则由
，解得
，代入直线
的方程，得
，所以直线
的倾斜角为
，由平面几何知识知在梯形
中，
．

考点：直线与圆的位置关系．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和
，其中
．

（I）证明
是等比数列，并求其通项公式；

（II）若
，求
．

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．

【解析】

考点：1、数列通项
与前
项和为
关系；2、等比数列的定义与通项及前
项和为
．

（18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

参考数据：
，
，
，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．

（Ⅱ）由
及（Ⅰ）得
，

.

所以，
关于
的回归方程为：
.

将2016年对应的
代入回归方程得：
.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
地面
，
，
，
，
为线段
上一点，
，
为
的中点．

（I）证明
平面
；学优高考网

（II）求直线
与平面
所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
．

设
为平面
的法向量，则
，即
，可取
，

于是
.

考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线
：
的焦点为
，平行于
轴的两条直线
分别交
于
两点，交
的准线于
两点．

（I）若
在线段
上，
是
的中点，证明
；

（II）若
的面积是
的面积的两倍，求
中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
．

考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

（21）（本小题满分12分）

设函数
，其中
，记
的最大值为
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求
；

（Ⅲ）证明
．

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接可求
；（Ⅱ）分
两种情况，结合三角函数的有界性求出
，但须注意当
时还须进一步分为
两种情况求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到

，然后分
，
三种情况证明

试题解析：（Ⅰ）
．

（Ⅱ）当
时，

因此，
． ………4分

当
时，将
变形为
．

令
，则
是
在
上的最大值，
，
，且当
时，
取得极小值，极小值为
．

令
，解得
（舍去），
．

考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O中
的中点为
，弦
分别交
于
两点．

（I）若
，求
的大小；

（II）若
的垂直平分线与
的垂直平分线交于点
，证明
．

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）见解析．

考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（I）写出
的普通方程和
的直角坐标方程；

（II）设点P在
上，点Q在
上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

【答案】（Ⅰ）
的普通方程为
，
的直角坐标方程为
；（Ⅱ）
．

考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（I）当a=2时，求不等式
的解集；

（II）设函数
当
时，
，求
的取值范围.

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式
，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解
的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于
的不等式求解即可．

试题解析：（Ⅰ）当
时，
.

解不等式
，得
.

因此，
的解集为
. ………………5分

（Ⅱ）当
时，

，

当
时等号成立，

考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．

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