绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学理

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

（1）若复数z满足
其中i为虚数单位，则z=

（A）1+2i （B）12i （C）
（D）

【答案】B

考点：注意共轭复数的概念.

（2）设集合
则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】

试题分析：
，
，则
，选C.

考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中

自习时间的范围是
，样本数据分组为

.根据直方图，

这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

（A）56 （B）60 （C）120 （D）140

【答案】D

考点：频率分布直方图

（4）若变量x，y满足
则
的最大值是

（A）4 （B）9 （C）10 （D）12

【答案】C

【解析】

试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,
表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为
,故选C.

考点：线性规划求最值

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

考点：根据三视图求几何体的体积.

（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：直线a与直线b相交,则
一定相交,若
相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.

考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.

（7）函数f（x）=（
sin x+cos x）（
cos x –sin x）的最小正周期是

（A）
（B）π （C）
（D）2π

【答案】B

【解析】

试题分析：
,故最小正周期
,故选B.

考点：三角函数化简，周期公式

（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=
.若n⊥（tm+n），则实数t的值为

（A）4 （B）–4 （C）
（D）–

【答案】B

考点：平面向量的数量积

（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，
；当
时，
；当

时，
.则f(6)=

（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2

【答案】D

【解析】

试题分析：当
时，
,所以当
时，函数
是周期为
的周期函数，所以
，又函数
是奇函数，所以
，故选D.

考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性

（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性

质.下列函数中具有T性质的是

（A）y=sin x （B）y=ln x （C）y=ex （D）y=x3

【答案】A

考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

【答案】3

【解析】

试题分析：第一次循环：
；第二次循环：
；第三次循环：
；满足条件，结束循环，此时，
.

考点：循环结构的程序框图

（12）若（ax2+
）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.

【答案】-2

【解析】

试题分析：因为
，所以由
，因此

考点：二项式定理

（13）已知双曲线E：
（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为

E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

【答案】2

考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.

（14）在
上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆
相交”发生的概率为 .

【答案】

【解析】

试题分析：直线y=kx与圆
相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即
，解得
，而
，所以所求概率P=
.

考点：直线与圆位置关系；几何概型

（15）已知函数
其中
，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三

个不同的根，则m的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程

f（x）=b有三个不同的根，则
，解得
，故m的取值范围是
.

考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.

三、解答题：本答题共6小题，共75分.

（16）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
:.]

（Ⅰ）证明：a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

由
知
,

所以

，

当且仅当
时，等号成立.

故
的最小值为
.

考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.

（17）（本小题满分12分）

在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O
的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=
AC=
，AB=BC.求二面角
的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

（II）解法一：

连接
,则
平面
，

又
且
是圆
的直径，所以

可得平面
的一个法向量

因为平面
的一个法向量

所以
.

所以二面角
的余弦值为
.

解法二：

考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

（18）（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和Sn=3n2+8n，
是等差数列，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
求数列
的前n项和Tn.

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

又
，

得
，

，

两式作差，得

所以

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是
，乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）分布列见解析，

(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

,

,

,

,

,

.

可得随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

6



P

















所以数学期望
.

考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望

(20)(本小题满分13分)

已知
.

（I）讨论
的单调性；

（II）当
时，证明
对于任意的
成立.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

当
，
时，
，
单调递增；

，
单调递减.[:.]

当
时，
.

综上所述，

当
时，函数
在
内单调递增，在
内单调递减；

当
时，
在
内单调递增，在
内单调递减，在
内单调递增；

当
时，
在
内单调递增；

当
，
在
内单调递增，在
内单调递减，在
内单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
时，

考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.

（21）（本小题满分14分）

平面直角坐标系
中，椭圆C：
?的离心率是
，抛物线E：
的焦点F

是C的一个顶点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线
与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线
与y轴交于点G，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.

【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）
的最大值为
，此时点
的坐标为

所以
，

，

所以
，

令
，则
，

当
，即
时，
取得最大值
，此时
，满足
，

所以点
的坐标为
，因此
的最大值为
，此时点
的坐标为
.

考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.

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