2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知向量
，且
，则m=

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8

（4）圆
的圆心到直线
的距离为1，则a=

（A）
（B）
（C）
（D）2

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A）x=– (k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) （C）x=– (k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

（9）若cos(–α)= ，则sin 2α=

（A） （B） （C）– （D）–

（10）从区间
随机抽取2n个数
,
，…，
，学优高考网
，
，…，
，构成n个数对
，
，…，
，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）已知F1，F2是双曲线E
的左，右焦点，点M在E上，M F1与
轴垂直，sin
,则E的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）2

（12）已知函数学优高考网
满足
，若函数
与
图像的交点为
则

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=
，cos C=
，a=1，则b= .

(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，m
α，那么m∥β. ?学优高考网??

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，学优高考网乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。

（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b= 。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

为等差数列
的前n项和，且
记
，其中
表示不超过x的最大整数，如
.

（I）求
；

（II）求数列
的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4


5



保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a



设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数

0

1

2

3

4


5



概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0. 05



（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=
，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△
的位置，
.

学优高考网???

（I）证明：
平面ABCD；

（II）求二面角
的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:
的焦点在
轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，
时，求△AMN的面积；

（II）当
时，求k的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

(I)讨论函数
的单调性，并证明当
>0时，

(II)证明：当
时，函数
有最小值.设g（x）的最小值为
，求函数
的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；

(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积. ??????学优高考网

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是
（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=
，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣x-
∣+∣x+
∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

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理科数学答案

第Ⅰ卷

一.选择题：

（1）【答案】A

（2）【答案】C

（3）【答案】D

（4）【答案】A

（5）【答案】B

（6）【答案】C

（7）【答案】B

（8）【答案】C

（9）【答案】D

（10）【答案】C

（11）【答案】A

（12）【答案】C

第Ⅱ卷

二、填空题

(13)【答案】

(14) 【答案】②③④

（15）【答案】1和3

（16）【答案】

三.解答题

17.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ）
，
，
；（Ⅱ）1893.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项
，再根据已知条件求
；（Ⅱ）用分段函数表示
，学优高考网再由等差数列的前
项和公式求数列
的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设
的公差为
，据已知有
，学优高考网解得

所以
的通项公式为

（Ⅱ）因为

所以数列
的前
项和为

考点：等差数列的的性质，前
项和公式，学优高考网对数的运算.

【结束】

18.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为
，学优高考网求
的分布列为，在根据期望公式求解..

【解析】

试题分析：

试题解析：（Ⅰ）设
表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件
发生当且仅当一年内出险次数大于1，故

（Ⅱ）设
表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出
”，则事件
发生当且仅当一年内出险次数大于3，故

又
，故

因此所求概率为

（Ⅲ）记续保人本年度的保费为
，则
的分布列为

































因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为

考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.

【结束】

19.（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证
，再证
，最后证
；（Ⅱ）用向量法求解.

试题解析：（I）由已知得
，
，又由
得
，故
.

因此
，从而
.由
,
得
.

由
得
.学优高考网所以
，
.

于是
，
，

故
.

又
，而
，

所以
.

（II）如图，以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向，学优高考网建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，
，
.设
是平面
的法向量，则
，即
，所以可以取
.设
是平面
的法向量，则
，即
，所以可以取
.于是
，
.因此二面角
的正弦值是
.

考点：线面垂直的判定、二面角.

【结束】

20.（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线
的方程，再求点
的纵坐标，最后求
的面积；（Ⅱ）设
，，将直线
的方程与椭圆方程组成方程组，消去
，用
表示
，从而表示
，同理用
表示
，再由
求
.

试题解析：（I）设
，则由题意知
，当
时，
的方程为
，
.

由已知及椭圆的对称性知，直线
的倾斜角为
.因此直线
的方程为
.

将
代入
得
.解得
或
，学优高考网所以
.

因此
的面积
.

（II）由题意
，
，
.

将直线
的方程
代入
得
.

由