岳阳县2016届高三第四阶段检测

文科数学

命题人：孙海华 审题人：罗时九

时量：120分钟 满分：150分

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）

1. 已知集合
则
为 （ ）

A．
　　　B．
　　C．
　　D．

2. 设i是虚数单位，复数i3＋＝ (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　

A．－i B．i C．－1 D．1

3.已知向量
则
等于 ( )

A．3 B.
C.
　　 D.

4．以下四个命题中,其中真命题的个数为 ( )

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题
：
使得
. 则
：
均有
；

③“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的充分不必要条件;

④命题
是
的充分不必要条件。

A．1 B．2 C．3 　 D．4

5．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得

到函数
的图象,若
的图象都经过点
,则
的值可以是 ( )

A．
B．
C．
D．

6. 阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是 （ ）

A．S＜8？ B． S＜12？ C． S＜14？ D． S＜16？

7．已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．2

若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为 　

( 　 )

A. －1 B．1 C. D．2

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　　)

A．12 B．18 C．24 D．30

10. 已知
，实数a、b、c满足
＜0，且0＜a＜b＜c，若实数
是

函数
的一个零点，那么下列不等式中，不可能成

立的是 (　 　)

A．
＜a B．
＞b C．
＜c D．
＞c

11．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是 (　　 )

A．(1,10)　　　　B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)

二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）

13．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知
，
，
，则
________.

14．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝18，则该数列前11项和S11＝

15.已知三棱锥
的外接球的球心
在
上，且
平面
,

，若三棱锥
的体积为
，则该三棱锥的外接球的体积为

16．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝

三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．( 本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求（n﹣8）bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．

18. ( 本小题满分12分) 最近2016届高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新2015届高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：

赞成改革

不赞成改革

无所谓



教师

120

y

40



学生

x

z

130



在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．

（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？

（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．

19．(本题满分12分) 如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，

∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求证：AC⊥平面BCE；

（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．

20．(本题满分12分)给定椭圆
，称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”．若椭圆
的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(2)点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点，过动点
作直线
,
，使得
,
与椭圆

都只有一个交点，试判断
,
是否垂直，并说明理由．

21.(本小题满分12分)已知函数f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x．

（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；

（Ⅲ）设x≥1，讨论曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数．

选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.

(1)求证：C，D，E，F四点共圆；

(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是
（为参数）．

(1)求曲线
的直角坐标方程与直线的普通方程；

(2)设点
，若直线与曲线
交于
，
两点，且
，求实数
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知正实数
满足：
.

（1）求
的最小值
;

（2）设函数
，对于（1）中求得的
，是否存在实数
，使得
成立，说明理由.

数学答案(文)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

A

B

B

A

B

C

D

C

C



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、
或
14、99 15、
16、336

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解析 ：

考点： 数列的求和；数列递推公式．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．

（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．

解答： 解：（1）由Sn=2an﹣2，当n=1时，求得：a1=2，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，所以：
（常数），

所以：数列{an}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．

所以：
．…（6分）

（2）已知：bn=log2a1+log2a2+…+log2an，=1+2+3+…+n=
，

由于（n﹣8）bn≥nk对任意n∈N*恒成立，所以
对任意的n∈N+恒成立．设
，则当n=3或4时，cn取最小值为﹣10．

所以：k≤﹣10．…（12分）

点评： 本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和，及恒成立问题的应用．

18. 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件与对立事件．

专题： 概率与统计．

分析： （1）根据题意，求出x、y和z的值，计算出应抽取的教师与学生人数；

（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．

解答： 解：（1）由题意
=0.3，解得x=150，

所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40；

则应抽取的教师人数为
×20=2，应抽取的学生人数为
×40=4； …（5分）

（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，

随机选出三人的不同选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），

（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），

（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4），

（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）共20种，…（9分）

至少有一名教师的选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），

（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4）共16种，

所以至少有一名教师被选出的概率为P=
=
． …（12分）

点评： 本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．

19．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （1）AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，运用判定定理可判断．

（2）运用勾股定理可判断AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE，

（3）CM⊥平面ABEF，VE﹣BCF=VC﹣BEF得出体积即可判断．

解答： 解：（1）∵四边形ABEF为矩形，

∴AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE．

过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM=MB=2

∵AD=2，AB=4．∴AC=2
，CM=2，BC=2
，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，

∵BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE．

（3）∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥CM，

∵CM⊥AB，AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB=A，∴CM⊥平面ABEF，

∴VE﹣BCF=VC﹣BEF=
=
×2×4×2．

点评： 本题综合考查了空间直线，几何体的平行，垂直问题，求解体积，属于中档题．

20．解：(1)由题意可知c＝，b2＋c2＝()2，则a＝，b＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.易知准圆半径为＝2，则准圆方程为x2＋y2＝4.

(2)①当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l1的斜率不存在，

因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x＝±，

当l1的方程为x＝时，此时l1与准圆交于点(，1)，(，－1)，

此时经过点(，1)或(，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1或y＝－1，

即l2为y＝1或y＝－1，显然直线l1，l2垂直；

同理可证直线l1的方程为x＝－时，直线l1，l2也垂直．

②当l1，l2的斜率都存在时，设点P(x0，y0)，其中x＋y＝4.

设经过点P(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t(x－x0)＋y0，

由  消去y，得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.

由Δ＝0化简整理得，(3－x)t2＋2x0y0t＋1－y＝0.

因为x＋y＝4，所以有(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0.

设直线l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆只有一个公共点，

所以t1，t2满足方程(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0，

所以t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．综合①②知，l1，l2垂直．

21.考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）因为f'（x）=2x﹣
，求出切线的斜率．继而得到切线方程．

（Ⅱ）因为f'（x）=
，