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2016年1月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学(理工类)

命题人：致远中学　任世鹏　　审定人：襄阳四中　马海俊襄阳市教研室　郭仁俊

★祝考试顺利★

注意事项：

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

回答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

回答第II卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

集合A = { x | x < a}，B = { x | 1 < x < 2}，若
，则实数a的取值范围是A．a≤1 B．a < 1 C．a≥2 D．a > 2

若向量a = (2，－1，0)，b = (3，－4，7)，且(ta + b)⊥a，则实数t的值是A．0 B．1 C．－2 D．2

已知等比数列{an}的公比为3，且a1 + a3 = 10，则a2a3a4的值为A．27 B．81 C．243 D．729

已知函数y = f (x) + x是偶函数，且f (2) = 1，f (－2) = A．1 B．5 C．－1 D．－5

由曲线
与直线
所围成的平面图形的面积为A．4 B．8 C．12 D．16

f (x)是定义在R上的以2为周期的奇函数，f (3) = 0，则函数y = f (x)在区间(－2，5)内的零点个数为A．6 B．5 C．4 D．3

实数x、y满足条件
，则
的最大值为A．
B．
C．
D．

向量a、b、c满足a + b + c = 0，a⊥b，(a－b)⊥c，
，则M =A．3 B．
C．
D．

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为
，线段B1D1上有两个动点E、F，且
，则下列结论中错误的是A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．异面值线AE、BF所成的角为定值

将函数
的图像向左平移
个单位得到
的图像，若对满足
的x1、x2，
，则
的值是A．
B．
C．
D．

若定义在R上的函数f (x)满足
，其导函数
满足
，则下列结论中一定正确的是A．
B．
C．
D．

已知F1、F2分别是双曲线C：
的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，| OF1 |为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A．
B．3 C．
D．2

第Ⅱ卷

第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22－24题为选考题，考生按要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

动圆圆心在抛物线
上，且动圆恒与直线
相切，则动圆必过定点　▲　．

右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为　▲　．

若
，则
　▲　．

观察下列等式：
，
，
，…，则当n < m，且m、n∈N*时，
　▲　(最后结果用m、n表示)．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(本小题满分12分)已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b2、c2是关于x的一元二次方程
的两根．(1)求角A的值；(2)若
，设角
，△ABC周长为y，求
的最大值．

(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC = 60°，E、F分别是BC、PC的中点.(1)求证：平面AEF⊥平面PAD； (2)H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E－AF－C的正切值．

(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正，其前n项和Sn满足
，且a2是a1和a7的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式；(2)符号[ x ]表示不超过实数x的最大整数，记
，求
．

(本小题满分12分)已知椭圆C：
的离心率为
，且过定点M(1，
)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：
与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．

(本小题满分12分)已知
，x∈(0，1)．(1)若f (x)在定义域内单调递增，求a的取值范围;(2)当
时，记f (x)的极小值为f (x0)，若f (x1) = f (x2)，求证：x1 + x2 > 2x0．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

(本小题满分10分)选修4—1：平面几何选讲已知AB为半圆O的直径，AB = 4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE = 1．(1)证明：AC平分∠BAD；(2)求BC的长．

(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为
(
为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点所在直线的极坐标方程．

(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲函数
．(1)求函数f (x)的定义域A；(2)设B = { x |－1< x < 2}，当实数a、b∈(
)时，证明：
．

2016年1月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学(理工类)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：CCDBB　　AADDB　　CD

二．填空题：13．(0，－2)　　14．
　　15．3　　16．m2－n2

三．解答题：

17．(1)解：在△ABC中，依题意有：
2分∴
4分又
，∴
6分

(2)解：由
及正弦定理得：
∴
8分故
即
10分由
得：
∴当
，即
时，
． 12分

18．(1)证：∵底面ABCD底面是菱形，∠ABC = 60°∴△ABC是正三角形又E为BC中点，∴AE⊥BC，∠BAE = 30° 2分故∠EAD =∠BAD－∠BAE = 120°－30° = 90°，即AE⊥AD 4分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE又AD、PA相交于A，∴AE⊥平面PAD而AE在平面AEF内，∴平面AEF⊥平面PAD 6分

(2)解法一：由(1)知，AE⊥平面PAD，∴∠AHE是EH与平面PAD所成的角由于AE为定值，∴当AH最小时，∠AHE最大此时AH⊥PD，∠AHE = 45° 8分过E作EQ⊥AC于Q点，过Q作QG⊥AF于G点，连结EG∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EQ又EQ⊥AC，PA与AC相交于A，∴EQ⊥平面PAC∵AF在平面PAC内，∴EQ⊥AF又QG⊥AF，QG、EQ相交于Q，∴AF⊥平面EQG，进而AF⊥EG∴∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角 10分设AB = 2a，则
，
∵
，∴
，
∴
，
∴在直角三角形EQC中，
又
，∴△ACF是正三角形，∠FAC = 60°∴
∴
12分

解法二：由(1)知，AE⊥平面PAD，∴∠AHE是EH与平面PAD所成的角由于AE为定值，∴当AH最小时，∠AHE最大此时AH⊥PD，∠AHE = 45° 8分设AB = 2a，则
，
∵
，∴
，
∴
以
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，
)，E(
，0，0)，C(
，a，0)，F(
，
，
)设平面AFC的一个法向量为m = (x，y，z)，则
即
∴可取m = (1，
，0) 9分设平面AEF的一个法向量为n = (x，y，z)，则
即
∴可取n = (0，
，1) 10分
11分
，∴二面角E－AF－C的正切值为
12分

19．(1)解：
当n = 1时，
，得：a1 = 3　或　a1 = 1 2分当n≥2时，
，∴
，
∵数列{an}的各项均正，∴
4分∴数列{an}是公差为4的等差数列，
或
又a2是a1和a7的等比中项，∴
6分

(2)解：
令
　　= 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + … + 3 + 3 + … + 4 + … + n 8分　　= 1×21 + 2×22 + 3×23 + … + (n－1)×2n＿1 + n ① 10分 2S = 1×22+ 2×23 + 3×24 + … + (n－1)×2n + 2n ②①－②得：－S = 2 + 22 + 23 + … + 2n＿1－(n－1)×2n－n　　　　　　　

12分

20．(1)解：由已知
∴椭圆C的方程为
2分

(2)解：由
得：
　① 4分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两根∴
6分设P(0，p)，则

　　　
8分若
，则
即
对任意k∈R恒成立 10分∴
此方程组无解，∴不存在定点满足条件 12分

21．(1)解：
1分∵f (x)在定义域(0，1)内单调递增∴
在(0，1)内恒成立，即
在(0，1)内恒成立 2分令
，则
∵
在(0，1)内单调递减，且
∴
在(0，1)上存在唯一零点m∴g (x)在(0，m)上递增，在(m，1)上递减，∴
4分

(2)证：当
时，
令
，则
由(1)知，
在(0，1)上存在唯一零点m∴
在(0，m)上递增，在(m，1)上递减∵
，∴
6分∵f (x)的极小值为f (x0)，∴
，因此
∴f (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1)上单调递增 8分

不妨设x1 < x2，∵f (x1) = f (x2)，∴
令
，则
∵
在(0，1)递减，∴
∴F (x)在(0，1)递减，∴F (x) < F (0) = 0，
10分又
∵
，∴
∵
，f (x)在(0，x0)上单调递减，∴
，即
12分

22．(1)证：∵OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA 2分∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD 4分∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC = ∠OCA故∠DAC = ∠OAC，即AC平分∠BAD 6分

(2)解：由(1)得：
，∴BC = CE 8分连结CE，则∠DCE = ∠DAC = ∠OAC，∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC∴
，故
10分

23．(1)解：由
消去θ得：
2分即
将
代入得极坐标方程为
4分

(2)解：由
得C2的普通方程为：
6分由
得：
8分∴C1、C2的交点所在直线方程为
∴其极坐标方程为：
10分

24．(1)解：| x + 1 | + | x + 2 |－5≥0当x≤－2时，得x≤－4，当－2 < x <－1时，得x≤4，当x≥－1时，得x≥1 2分∴A = { x | x≤－4或x≥1} 4分

(2)证：
= { x |－1< x < 1}，∴a、b∈{ x |－1< x < 1} 6分要证
，只需证
8分∵
∵a、b∈{ x |－1< x < 1}，∴
∴
∴
成立

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