宜昌一中2016届高三年级12月月考

数学（文）试题

命题人：吴启明 审题人：肖华

一．选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)

1．设全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设命题

，
，且
；命题
关于
的函数
（
且
）是指数函数，则命题
成立是命题
成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设
，则
的大小关系是( )

A．
B．
C．
D．

5．已知
是两个不同的平面，
是两条不同的直线，给出下列命题：

①若
；

②若
；

③如果
相交；

④若

其中正确的命题是 （ ）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

6．几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )

A．
B．
C．
D．

7．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8.在
中，已知
，
，
点在斜边
上，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．在
中，角
的对边分别为
，若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．不等式组
表示的区域为
，不等式
表示的平面区域为
．若
与
有且只有一个公共点，则实数
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11．椭圆
的半焦距为
，左焦点为
，右顶点为
，抛物线
与椭圆交于
，
两点，若四边形
是菱形，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知
是定义在
上的奇函数，当0 < x < 3时，
那么不等式
的解集是（ ）

A．

B．



C．

D．



二．填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置．)

13．对于实数
，
表示不超过
的最大整数，观察下列等式：

按照此规律第
个等式等号右边为 ．

14．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是 ．

15．已知函数
，则函数
的零点个数为 个．

16．在平面直角坐标系
中，使角的顶点与原点重合，角的始边与
轴的非负半轴重合．已知点

是角
终边上一点，
，定义
．对于下列说法：

①函数
的值域是
； ②函数
的图象关于原点对称；

③函数
的图象关于直线
对称； ④函数
是周期函数，其最小正周期为
；

⑤函数
的单调递减区间是

其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）

三．解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．)

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn满足
．

（1）求Sn与数列{an}的通项公式；

（2）设
（n∈N*），求使不等式
成立的最小正整数
．

18．（本小题满分12分）

在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生都要参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为
五个等级.

某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有
人.

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为
的人数；

（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为
. 在至少一科成绩为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为
的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD
平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且
，点F为PD中点.

（1）若
，求证：直线AF
平面PEC；

（2）是否存在一个常数
，使得平面PAB
平面PED，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
和直线
，直线
与
轴的交点
，过点
的直线交抛物线
于
、
两点，与直线
交于点
。

（1）记
的面积为
，求
的取值范围；

（2）设
，
，求
的值．

21．（本小题满分12分）

设函数
，其中
．

(1)若函数
图象恒过定点
，且点
关于直线
的对称点在
的图象上，求
的值；

(2)当
时，设
，讨论
的单调性；

(3)在(1)的条件下，设
，曲线
上是否存在两点
、
，使
(
为原点)是以
为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在
轴上？如果存在，求
的取值范围；如果不存在，请说明理由．

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修
：几何证明选讲

如图，过点
作圆
的割线
与切线
，
为切点，连接
，
，
的平分线与
，
分别交于点
，
，其中
．

（1）求证：
；

（2）求
的大小．

23．（本小题满分10分）选修
；坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：
．

（1）将极坐标方程化为普通方程；

（2）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
，

（1）解关于
的不等式
；

（2）若函数
的图像恒在函数
图像的上方，求实数
的取值范围.

宜昌一中2016届高三年级12月月考

数学（文）试题答案

1----5 D A A D D 6----10 B A C C C 11----12 D B

13．
14．
15． 2 16． ①③④

17．解：（1）因为
，所以
是首项为1，公差为1的等差数列，

则
=1+(n－1)1=n， 从而Sn=n2．…………………3分

当n=1时，a1=S1=1， 当n>1时，an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2 =2n－1．

因为
也符合上式， 所以an=2n－1．…………………6分

（2）由（Ⅰ）知
，……………8分

所以

，……………10分

由
，解得n>12． 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………12分

18．解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人……………………2分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
……………………6分

（2）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，

所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}
,有6个基本事件

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则
. ……………………12分

19．证明：作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点，∴
.∵
，∴
，

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM.

∵
，

∴直线AF
平面PEC. ………………………………………6分

(2)存在常数
，使得平面PED⊥PAB . ………………………………7分

∵
，
，
，∴
. 又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE.

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB. 又∵
，∴AB⊥平面PDE.

∵
，∴平面PED⊥平面PAB. ………………………