宜昌一中 2016届高三年级12月月考

数学试题（理）

命题人： 杨天文 审题人： 钟卫华

本试卷共 4 页，共 24 题 满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上）

1．已知复数
（i为虚数单位），则
( )

A．
B．
C．
D．

2．等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列说法中，不正确的是（ ）

A．已知
，命题“若
，则
”为真命题；

B．命题“
”的否定是：“
”； C．命题“
或
”为真命题，则命题
和命题
均为真命题；

D．“
”是“
”的充分不必要条件.

5.已知
时，
，
，
，则
( )

A． 0.043 B． 0.0215 C． 0.3413 D． 0.4772

6．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线的左支上，且
，则此双曲线离心率的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值

为10，则
的最小值为（ ）

A．
B． 5 C． 25 D． 24

8．函数
在
时的切线和x轴交于
，若
，则数列
的前n项和为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=
，则下列结论中错误的个数是 ( )

(1) AC⊥BE；

(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为
；

(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值；

(4) 在空间与三条直线DD1，AB，B1C1都相交的直线有无数条.

A．0 B．1 C．2 D．3

10．已知
为
的外心，
，
，若
，且

，则
（ ）。

A．
B．
C．
D．

11.已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，定义函数f：M→N.若点A(1，f(1))，

B(2，f(2))，C(3，f(3))，△ABC的外接圆圆心为D，且＋＝λ(λ∈R)，则满足

条件的函数f(x)有(　　)

A．6个 B．10个 C．12个 D．16个

12．已知
是定义在
上的单调函数，且对任意的
，都有

，则方程
的解所在的区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知集合
.

14.三角形ABC的内角A,B的对边分别为
，若
，

则三角形ABC的形状为____ ____.

15.设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 ．

16.定义：
，其中
是虚数单位，
，且实数指数幂的运算性质对
都成立.若
，
，则
．（结果用复数的代数形式表示）

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）某同学用“五点法”画函数

在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：











































求
，
，
的值及函数
的表达式；

若对任意的

，都有
恒成立，求实数
的取值范围.

18．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，

平面
⊥平面
，
是
的中点．

(1)求证：
∥平面
；

(2)在线段
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，

求出
的长；若不存在，请说明理由．

19．（本题满分12分）我市在夜明珠与黄柏河交汇形成的平湖水面上修建”三峡游轮中心”.其中有小型游艇出租给游客游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为
，
；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为
，
，且两人租用的时间都不超过4小时．

（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量
，求
的分布列与数学期望．

20．（本题满分12分）中心在坐标原点
，焦点在坐标轴上的椭圆
经过两点
.分别过椭圆
的焦点
、
的动直线
相交于
点，与椭圆
分别交于
不同四点，直线
的斜率
、
、
、
满足
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）是否存在定点
，使得
为定值．若存在，求出
点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

21．（本题满分12分）已知函数
有且只有一个零点，其中a＞0.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的
，有
成立，求实数k的最大值；

（III）设
，对任意
，证明：

不等式
恒成立.

请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22. （本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，锐角∠ABC的

平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=
，延长CE交AB于点F，

求△BCF外接圆的半径.

23. （本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴.已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
交于
两点，求弦长
.

24. （本题满分10分）选修4－5:不等式选讲

对于任意的实数
(
)和
,不等式
恒成立,记实数
的最大值是
.

（Ⅰ）求
的值;

（Ⅱ）解不等式
.

宜昌一中 2016届高三年级12月考试数学（理）参考答案

ADBCB ABDAB CC

13.
14. 等腰三角形或直角三角形 15. 92 16.

………9分

………11分

的取值范围为
分

18. (1)证明　由已知，MN∥AD∥BC，连结BN，设CM与BN交于F，连结EF，如图所示．

又MN＝AD＝BC，所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点．

又E是AB的中点，所以AN∥EF. …………5分

因为EF?平面MEC，AN?平面MEC，

所以AN∥平面MEC. …………6分

(2)法一：如图所示，假设在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的

大小为.延长DA，CE交于点Q，过A作AH⊥EQ于H，连结PH.

因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，

所以MA⊥平面ABCD，又CQ?平面ABCD，所以MA⊥EQ，又MA∩AH＝A，所以EQ⊥平面PAH，

所以EQ⊥PH，∠PHA为二面角P－EC－D的平面角．由题意，知∠PHA＝.

在△QAE中，AE＝1，AQ＝2，∠QAE＝120°，

则EQ＝＝，所以AH＝＝
.

又在Rt△PAH中，∠PHA＝，则AP＝AH×tan 30°＝
×＝＝<1.

所以在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为，此时AP的长为.……12分

法二：空间向量法

建系并写出点的坐标 ………2分 法向量过程………2分 公式求解得答案………2分

19．解： （1）甲、乙所付费用可以为
、
元、
元…………………1分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为
…………………2分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为
…………………3分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为

故甲、乙两人所付费用相等的概率为
………………5分

（2）随机变量
的取值可以为
……………………………6分

故
的分布列为：



























 ……………………………………………11分

的数学期望是

………………………………………………………12分

20．解：（1）设椭圆
的方程为
　………1分

将
　代入有
………3分

∴ 椭圆E的方程为
．………4分

（2）焦点
、
坐标分别为(—1，0)、(1，0)．

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)．

当直线l1、l2斜率都存在时，设斜率分别为