武昌区2016 届高三年级元月调研考试

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将

自己的姓名、准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

(1)已知集合A＝{x |
}，B＝{x |
}，则A
B ?

(A) (－
，－4)
[－2，＋
)　　　　　 (B) (2,3]

(C) (－
，3]
(4，＋
) 　　　　　　　(D) [－2,2)

(2)已知(
－1＋3i)(2－i) ＝4 ＋3i（其中i是虚数单位，
是z 的共轭复数），则z的虚部为

(A) 1　　　　　　　　　　　　　　　　 (B) －1

(C) i　　　　　　　　　　　　　　　　 (D) －i

(3)右边程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出i ＝

(A)6

(B)7

(C)8

(D)9

(4)已知函数
的图象

向右平移
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是

(A)3 　　　　　　(B)

(C)
　　　　　（D)

(5)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则
等于

(A)
　　(B)2
　　 (C)3
　　　 (D)4

(6)“a ≤0”是“函数 f (x) ＝| (ax－1)x |在区间(0, ＋
)上单调递增”的

(A)充分而不必要条件　 (B)必要而不充分条件　　(C)充要条件　 (D)既不充分也不必要条件

(7)设
是公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和， S1，S2，S4成等比数列，且
,

则数列
的前n 项和Tn=

(A)－
　　（B）　　　
(C)－
　　　(D)

(8)在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为

(A)1 193

(B)1 359

(C)2 718

(D)3 413

(9)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速

度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区

内的时间为

(A)9 h　　 (B)10 h

(C)11 h　　 (D)12 h

(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

(A)18 ＋2

(B) 20＋

(C) 20＋

(D)16＋

(11)已知椭圆
的左焦点F(－c,0)

关于直线bx＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则

椭圆的离心率是

(A)
　　(B)
　　　　(C)
　　　　(D)

(12)已知函数 f (x) ＝sinx －xcos x．现有下列结论：

①
；

②若
，则
；

③若
对
恒成立，则 a的最大值为
，b 的最小值为1．

其中正确结论的个数为

(A)0　　　　 (B)1　　　　 (C)2　　　　 (D)3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题~第21 题为必考题，每个试题考生必须做

答．第22 题~第24 题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．

(13)已知
的展开式中x的系数为 2，则实数a 的值为　　　　．

(14)双曲线Γ：
的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ 的实轴

长等于　　　　．

(15)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2
，则该球

的体积为　　　　．

(16)设Sn为数列{
} 的前 n 项和，
，则数列{ Sn}的前9 项和

为　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12 分）

在?ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知cos 2B＋cosB＝ 1－cos AcosC．

（Ⅰ）求证：a，b，c 成等比数列；

（Ⅱ）若b＝2，求△ABC 的面积的最大值．

(18)（本小题满分12 分）

某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下：

（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提

供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的

空气严重污染与供暖有关”？

（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为

试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．

(19)（本小题满分12 分）

如图，在四棱锥P －ABCD中，底面ABCD为矩形，E 为 PB 的中点，AD⊥AE，且

PA ＝AB ＝
， AD ＝AE ＝1．

（Ⅰ）证明： PA ⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角B－EC －D的正弦值．

(20)（本小题满分12 分）

已知抛物线E：
上一点M (
,4) 到焦点F 的距离|MF |＝

．

（Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线
与E 相交于C，D 两

点，若
＝0，求直线 l的方程．

(21)（本小题满分12 分）

已知函数

（Ⅰ）证明：当
＝0时， f (x) ≥0；

（Ⅱ）若当x≥0时， f (x) ≥0，求实数λ的取值范围．

请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做

答时请写清题号．

(22)（本小题满分10 分）选修4—1：几何证明选讲

如图，EC 切⊙O 于点C，直线EO 交⊙O 于A，B 两点，CD⊥AB，垂足为D．

（Ⅰ）证明：CA平分∠DCE；

（Ⅱ）若EA ＝2AD，EC＝2
，求⊙O 的直径．

(23)（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程

将圆
上每一点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 Γ．

（Ⅰ）写出Γ 的参数方程；

（Ⅱ）设直线 l：3x ＋2y －6 ＝0与 Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．

(24)（本小题满分10 分）选修4—5：不等式选讲

设函数 f (x) ＝| kx －1|（k
R）．

（Ⅰ）若不等式 f (x) ≤2的解集为
，求k的值；

（Ⅱ）若 f (1) ＋f (2)＜5，求 k的取值范围．

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