机密★启用前

2016年1月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学(文史类)

命题人：致远中学　任世鹏　　审定人：襄阳四中　马海俊襄阳市教研室　郭仁俊

★祝考试顺利★

注意事项：

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好条形码或将考号对应数字涂黑。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

回答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

回答第II卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知集合A = {0,1}，B = {－1，0，a2 + a－1}，且
，则a等于A．1 B．－2或1 C．－2 D．－2或－1

已知复数z满足
，则z等于A．1 + i B．1－i C．i D．－i

已知平面向量a = (1，2)，b = (－2，m)，且a∥b，则| 2a + 3b | =A．
B．
C．
D．

已知等比数列{an}的公比为3，且
，则
的值为A．27 B．81 C．243 D．729

已知函数
是奇函数，且f (2) = 1，则f (－4) =A．1 B．3 C．－1 D．－3

同时具有性质“①最小正周期是
；②
是图像的一条对称轴；③在区间
上是减函数”的一个函数是A．
B．
C．
D．

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点是圆
的圆心，则抛物线的方程是A．
B．
C．
D．

设函数
在点(1，f (1))的切线与直线x + 2y－3 = 0垂直，则实数a等于A．1 B．2 C．3 D．4

若m、n是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是A．若
，则
B．
，则
C．若
，则
D．
，则

实数x、y满足条件
，则
的最大值为A．
B．
C．
D．

已知x > 0，y > 0，且
，若
恒成立，则实数t的取值范围是A．[－4，2] B．(－4，2) C．(0，2) D．(0，4)

若
的三个零点为x1、x2、x3，则x1x2x3的取值范围是A．(0，+∞) B．
C．
D．

第Ⅱ卷

第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22－24题为选考题，考生按要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

观察下列各式：a + b = 1，a2 + b2 = 3，a3 + b3 = 4，a4 + b4 = 7，a5 + b5 = 11，…，则a8 + b8 = 　▲　．

右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为　▲　．

已知
，则f (2016) = 　▲　．

若
，则
　▲　．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(本小题满分12分)已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b2、c2是关于x的一元二次方程
的两根．(1)求角A的值；(2)若
，设角
，△ABC周长为y，求
的最大值．

(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC = 90°，AB = AD = PD = 2，CD = 4．(1)求证：BC⊥平面PBD；(2)设E是侧棱PC上一点，且CE = 2PE，求四面体P－BDE的体积．

(本小题满分12分)已知{an}为等差数列，且a3 + a4 = 3(a1 + a2)，a2n－1 = 2an．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，且
(m为常数)．令cn = b2n (n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn．

(本小题满分12分)已知椭圆C1：
的离心率为
，且过定点M(1，
)．(1)求椭圆
的方程；(2)已知直线l：
与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．

(本小题满分12分)已知函数
．(1)若曲线
在点(2，g (2))处的切线与直线x + 2y－1 = 0平行，求实数a的值。(2)若
在定义域上是增函数，求实数b的取值范围。(3)设m、n∈R*，且m≠n，求证：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

(本小题满分10分)选修4—1：平面几何选讲已知AB为半圆O的直径，AB = 4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE = 1．(1)证明：AC平分∠BAD；(2)求BC的长．

(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为
(
为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点所在直线的极坐标方程．

(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲．函数
．(1)求函数f (x)的定义域A；(2)设B = { x |－1< x < 2}，当实数a、b∈(
)时，证明：
．

2016年1月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学(文史类)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：BCCDC　　DCADA　　BC

二．填空题：13．47　　14．
　　15．
　　16．3

三．解答题：

17．(1)解：在△ABC中，依题意有：
2分∴
4分又
，∴
6分

(2)解：由
及正弦定理得：
∴
8分故
即
10分由
得：
∴当
，即
时，
． 12分

18．(1)证：∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD与平面ABCD相交于CD∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC 2分在△ABD中，∠A = 90°，AB = AD = 2，∴
，∠ADB = 45°在△ABD中，∠BDC = 45°，
，DC = 4∴
由BD2 + BC2 = 16 = DC2知BD⊥BC 4分∵PD⊥BC，BD、PD相交于D，∴BC⊥平面PBD 6分

(2)解：过E作EF∥PD交DC于F，由(1)知EF⊥平面ABCD由CE = 2PE得：
，∴
8分
10分
∴
12分

19．(1)解：由a3 + a4 = 3(a1 + a2)得：a1 + 2d + a1 +3d = 3(a1 + a1 + d) ( 2a1 = d　① 2分由a2n－1 = 2an得：a1 + (2n－1)d－1 = 2[a1 + (n－1)d] ( a1 = d－1　　②由①②得：a1 = 1，d = 2，∴an = 2n－1 4分

(2)解：当n≥2时，
6分∴
8分

10分两式相减得：
　　　　　　　　
∴
12分

20．(1)解：由已知
∴椭圆C的方程为
2分

(2)解：由
得：
　① 4分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两根∴
6分设P(0，p)，则

　　　
8分若
，则
即
对任意k∈R恒成立 10分∴
此方程组无解，∴不存在定点满足条件 12分

21．(1)解：
，
2分g (x)在点(2，g (2))处的切线与直线x + 2y－1 = 0平行∴
4分

(2)证：由
得：
∵h (x) 在定义域上是增函数，∴
在(0，+∞)上恒成立∴
，即
恒成立 6分∵
当且仅当
时，等号成立∴b≤2，即b的取值范围是(－∞，2] 8分

(3)证：不妨设m > n > 0，则
要证
，即证
，即
10分设
由(2)知h (x)在(1，+∞)上递增，∴h (x) > h (1) = 0故
，∴
成立 12分

22．(1)证：∵OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA 2分∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD 4分∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC = ∠OCA故∠DAC = ∠OAC，即AC平分∠BAD 6分

(2)解：由(1)得：
，∴BC = CE 8分连结CE，则∠DCE = ∠DAC = ∠OAC，∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC∴
，故
10分

23．(1)解：由
消去θ得：
2分即
将
代入得极坐标方程为
4分

(2)解：由
得C2的普通方程为：
6分由
得：
8分∴C1、C2的交点所在直线方程为
∴其极坐标方程为：
10分

24．(1)解：| x + 1 | + | x + 2 |－5≥0当x≤－2时，得x≤－4，当－2 < x <－1时，得x≤4，当x≥－1时，得x≥1 2分∴A = { x | x≤－4或x≥1} 4分

(2)证：
= { x |－1< x < 1}，∴a、b∈{ x |－1< x < 1} 6分要证
，只需证
8分∵
∵a、b∈{ x |－1< x < 1}，∴
∴
∴
成立 10分

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