2015年12月温州第八高级中学高三第三次月考

数学试题（理科）

（考试时间：150分钟，满分：150分

参考公式：

棱柱的体积公式
其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

棱锥的体积公式
其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高

球的表面积公式
棱台的体积公式

球的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示球的半径
表示棱台的高

选择题部分

一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）

1、设集合
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2、设
是等差数列，
，则“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3、为了得到函数
的图象，可将函数
的图象（ ）

A.左平移
个单位 B. 向右平移
个单位

C. 向左平移
个单位 D. 向右平移
个单位

4、已知
,
,
，则使得
成立的
可能取值为（ ）

　A、0.5　　　 B、1　 　C、
　　 D、3

5、已知两条异面直线，以及空间给定一点，则（ ）

A. 必存在经过该点的平面与两异面直线都垂直

B. 必存在经过该点的平面与两异面直线都平行

C. 必存在经过该点的直线与两异面直线都垂直

D. 必存在经过该点的直线与两异面直线都相交

6、某公司招收男职员
名，女职员
名，
须满足约束条件
则
的最大值是 （ ）

A.80 B.85 C.90 D.100

定义域为[-2,1]的函数
满足
，且当
时，
。若方程
有4个根，则m的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

已知椭圆C：
，
是椭圆的两个焦点，A为椭圆的右顶点，B为椭圆的上顶点。若在线段AB（不含端点）上存在不同的两个点
,使得
和
均为以
为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

非选择题部分

二、填空题(本大题共7题，第9、10、11、12题每题6分，第13、14、15每空4分，共36分）

9、已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为 ．表面积为 .体积为 .

10、若等差数列
满足
，
，则公差
______；
______．

11、若点
为抛物线
上一点，则抛物线焦点坐标为 ；若双曲线
经过点P，且与抛物线共焦点，则双曲线的渐近线方程为 ．

12、已知两个向量
，
的夹角为30°，
，
为单位向量，
, 则
的最小值为 ．若
=0，则
= .

13、已知实数
满足
则原点
到直线
的距离的最大值为 .

14、已知点
，点
在曲线
上运动，点
在曲线
上运动，则
取到最小值时
的横坐标为 .

15、在正方体
中，
是棱
的中点，
是侧面
内的动点，且
平面
，则
与平面
所成角的正切值
的取值范围为 .

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

16、在
分别为内角A,B,C的对边.已知：

的外接圆的半径为
.

（1）求角C和边c；

（2）求
的面积S的最大值并判断取得最大值时三角形的形状.

17、如图，已知四边形ABCD为菱形，且
,取AB中点为E，AD中点F。现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD。

（1）求证：

（2）若二面角A-DE-H为直二面角，设平面ABH与平面ADE所成二面角的平面角为
，试求
的值。

18、已知椭圆
两焦点坐标分别为
,
，且经过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若直线l经过左焦点
，且与椭圆相交于A、B两点，判断
是否为定值？若是求出此定值；若不是，说明理由。

19、已知函数
.

（Ⅰ）当
，函数
有且仅有一个零点
，且
时，求
的值；

（Ⅱ）若
，用定义证明函数
在区间
上为单调递增函数.

（Ⅱ）若
，当
时不等式
恒成立，求
的取值范围．

20、已知数列
、
中,对任何正整数
都有：

．

(1)若数列
是首项和公差都是1的等差数列,求证：数列
是等比数列；

(2)若数列
是等比数列,数列
是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由；

(3)若数列
是等差数列,数列
是等比数列,求证：
．

2015年12月温州第八高级中学高三第三次月考

数学试题（理科）

选择题

1-5 BADDC 6-8 CDA

填空题

9、

1023 11、

13、

2 15、

解答题

16、（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2
（a2﹣c2）=b（a﹣b），

整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab， ……………………………3分

∵c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣c2=2abcosC，

∴2abcosC=ab，即cosC=

所以：C=
……………………………5分

由c=2RsinC=2
=
……………………………7分

（2）由（1）得：A+B=

利用正弦定理得：

所以：

…………………………10分

当2A﹣
=
时，
…………………………12分

此时A=
，由于A=C=

所以：B=

所以：△ABC为等边三角形 …………………………15分

17、（1）取AH的中点G，连接BG，FG，EF …………………………2分

因为四边形ABCD为菱形，所以BE平行且等于

又因为FG为三角形ABH的中位线，所以FG平行且等于

故BE平行且等于FG，即BEFG为平行四边形，

因此EF平行BG …………………………4分

所以
…………………………5分

（2）因为
，所以

故翻折之后
,因此
为二面角A-DE-H的平面角，故
.因此
………………………7分

方法一、 建立直角坐标系，以E为坐标原点，以AE为x轴，DE为y轴，且设菱形边长为a，则

平面ABH的法向量为
………………………10分

平面ADE的法向量为（0,0,1） ………………………13分

则二面角的余弦值为
………………………15分

方法二、延长DE、HB交于点O，则由已知得
过D作
,垂足点为M，连接HM，则
为二面角的平面角。

再求值即可。

（1）利用定义
，故
………………………4分

（2）设直线l斜率存在，且方程为
,与椭圆的两个交点为
,
，则
=

同理，
………………………7分

故
=

而
联立后得，

知
，
………………………10分

代入知
=4 ………………………13分

若直线斜率不存在，则直线l为
，可得
,

同样可得
=4 ………………………15分

19、（1）

，得
，……………………………2分

又
仅一根，则由函数图像可知若
，

则k=4 ……………………………4分

在
）任意取
，并假设
，

则
=

因为
，
所以
，
………………………6分

故
，即函数
在区间
上为单调递增函数.

………………………8分

由函数图像知，
在
递减，
递增

………………………9分

故当
时，
单调递减，故
，得
，因此
成立；

………………………11分

当
时，
，因此
；

………………………13分

当
时，
单调递增，故
，得
，因此无解。

综上所述，
………………………15分

20、（1）依题意数列
的通项公式是
，

故等式即为
，

，

两式相减可得
--------------------------3分

得
，数列
是首项为1，公比为2的等比数列． -------4分

（2）设等比数列
的首项为
，公比为
，则
，从而有：

，

又

，

故
------------------------6分

，

要使
是与