2016年温州市高三第一次适应性测试

数学（理科）试题 2016.1

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至6页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：

柱体的体积公式：
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中
表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知集合
，则
( ▲ )

A．
B．
C．
D．

2．已知
为异面直线，下列结论不正确的是( ▲ )

A．必存在平面
使得
B．必存在平面
使得
与
所成角相等

C．必存在平面
使得
D．必存在平面
使得
与
的距离相等

3．已知实数
满足
，则
的最大值为( ▲ )

A． B．
C．
D．

4．已知直线：
，曲线
：
，则“
”是“直线与曲线
有公共点”的( ▲ )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设函数
是定义在
上的偶函数，对任意的
都有
，则满足上述条件的
可以是( ▲ )

A．
B．

C．
D．

6．如图，已知
、
为双曲线
：
的左、右焦点，
为第一象限内一点，

且满足
,
，线段
与双曲线
交于点
，若
，则双曲线
的渐近线方程为( ▲ )

A．
B．
　　　　　　

C．
D．

7．已知集合
，若实数
满足：对任意的
，都有
，则称
是集合
的“和谐实数对”。则以下集合中，存在“和谐实数对”的是( ▲ )

A．
B．
　　　　　　

C．
D．

8．如图，在矩形
中，
，
，点
在线段
上且
，现分别沿
将
翻折，使得点
落在线段
上，则此时二面角
的余弦值为 ( ▲ )

A．
　　　　　B．
　　　　　　　C．
　　　　 　　D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9．已知
，则
▲ ，函数
的零点个数为 ▲ ．

已知钝角
的面积为
，

则角
▲ ,
▲ .

如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ▲ ，

表面积为 ▲ ．

12．已知公比
不为的等比数列
的首项
，前
项和为
，且
成等差数列，则
▲ ，
▲ ．

13．已知
，若对任意的
，均存在
使得
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14．已知
中，
，
，点
为线段
上的动点，动点
满足
，则
的最小值等于 ▲ ．

15．已知斜率为
的直线与抛物线
交于位于
轴上方的不同两点
，记直线
的斜率分别为
，则
的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）已知
，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的值域．

17．（本题满分15分）如图，在三棱锥
中，
,
在底面
上的射影为
，
，
于
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，
，
，

求直线
与平面
所成的角的正弦值.

18．（本题满分15分）已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若
在区间
，2]上的最大值为
，最小值为
，求
的最小值．

19．（本题满分15分）如图，已知椭圆
：
经过点
，且离心率等于
．点
分别为椭圆
的左、右顶点，
是椭圆
上非顶点的两点，且
的面积等于
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
作
交椭圆
于点
，求证：
．

20．（本题满分15分）如图，已知曲线
：

及曲线
：

，
上的点
的横坐标为

．从
上的点

作直线平行于
轴，交曲线
于点
，再从点
作直线平行于
轴，交曲线
于点
．点

的横坐标构成数列
．

（Ⅰ）试求
与
之间的关系，并证明：
；

（Ⅱ）若
，求证：
．

2016年温州市高三第一次适应性测试

数学（理科）试题参考答案 2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

A

C

B

C

D



二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.

9．14；1． 10．
；
． 11．12；36．

12．
；
． 13．
． 14．
．　　　15．
．

三、解答题

16．（本题14分）

解：（Ⅰ）由已知得
，则
…………2分

所以
或
（舍）……………………………………4分

又因为
所以
……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

……………………………8分

……………………………………10分

由
得

所以 当
时，
取得最小值
……………………………12分

当
时，
取得最大值

所以函数
在
上的值域为
…………………………………14分

17．（本题15分）

（Ⅰ）如图，由题意知
平面

所以
，又

所以
平面
，………………3分

又
平面
所以平面
平面

…………………6分

（Ⅱ）解法一：

由
知

所以
是
的外心

又
所以
为
的中点 …………………………………9分

过
作
于
，则由（Ⅰ）知
平面

所以
即为
与平面
所成的角…………………………………12分

由
，
得
，

所以
，

所以
…………………………………15分

解法二：

如图建系，则
，
，

所以
，
……………………………………9分

设平面
的法向量为

由
得
，取
………………12分

设
与
的夹角为

所以

所以
与平面
所成的角的正弦值为
………………………………15分

18．（本题15分）

解：（Ⅰ）解：（1）
， ……………………………………1分

当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
……3分

当
时，
的单调增区间为
……………………………………4分

当
时，
的单调增区间为
，
，单调减区间为
……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

时
在
上递增，在
上递减，在
上递增

从而 当
即