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台州中学2015学年第一学期第三次统练试题

高三 数学（文科）

命题人：洪武定 审题人：李超英

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
为等差数列
项和，若
，则该数列的首项
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
，则( )

A．
B．
C．
D．

4．对于不重合的两平面
，给定下列条件：

①存在平面
，使得
都垂直于
； ②存在平面
，使得
都平行于
；

③存在直线
；

④存在异面直线

其中可以判定
平行的条件有（ ）

A． 1个 B． 2个 C．3个 D．4个

5．在
中，已知
，
是斜边
上的动点（除端点外），设
到两直角边的距离分别为
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．定义行列式运算
=
．将函数
的图象向左平移
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知
是直线
上一动点，
是圆C：
的两条切线，
是切点，若四边形
的最小面积是2，则
的值为（ ）

A.3 B.

C.
D.2

8．已知平面向量
满足
（
），

且
，
．

A. 若
，则
，
B. 若
，则
，

C. 若
，则
，
D. 若
，则
，

二、填空题：本大题7小题，9-12题每空3分，13-15每空4分，共36分，把答案填在题中的横线上．

9．已知直线
与直线
,若
，则
=_________;若
则
=___________________.

10．设函数
，则该函数的最小正周期为 ，
在
的最小值为 .

11．规定记号“
”表示一种运算，即
．若
，则函数
的定义域是_______________,值域是_________________．

12．设
，
，
为平面向量，若
，
，
，
，则
的最小值为 ，
的最小值为 .

13．已知
是椭圆
的两个焦点，过
且垂直于
轴的直线交
于
两点,且
则
的方程为_______________________.

14．已知双曲线C：
（
）的左、右焦点分别为
，过点
作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且
，则双曲线C的离心率为 .

15．对一切实数
，所有的二次函数
的值均为非负实数，则
的最大值是____________.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分14分）
中，内角
的对边分别是
，已知
成等比数列，且
.

（1）求
的值；

（2）设
，求
的值.

17. （本小题满分15分）设各项均为正数的数列
的前
项和为
,满足
且
.

(1) 求数列
的通项公式;

(2) 证明:对一切正整数
,有
.

18、（本小题满分15分）在
中，
，斜边
.
以直线
为轴旋转得到
，且二面角
是直二面角,动点
在斜边
上。

（1）求证：平面
平面
；

（2）当
时，求异面直线
与
所成角的正切值；

（3）求
与平面
所成最大角的正切值.

来源:Z+xx+k.Com]

19．（本小题满分15分）

已知抛物线
：
，过焦点F的直线
与抛物线交于
两点（
在第一象限）.

（1）当
时，求直线
的方程；

（2）过点
作抛物线
的切线
与圆

交于不同的两点
，

设
到
的距离为
，求

的取值范围.

20、（本小题满分15分）

设函数
.

（1）当
时，记函数
在[0，4]上的最大值为
，求
的最小值；

（2）存在实数
，使得当
时，
恒成立，求
的最大值及此时
的值.

台州中学2015学年第一学期第三次统练参考答案

高三 数学（文科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A

二、填空题：本大题7小题，9-12题每空3分，13-15每空4分，共36分，把答案填在题中的横线上．

9．
，
， 10．
，
11．
;
12．
，
13．
14．
15．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（1）因为
，
，
成等比数列，所以

由余弦定理可知：

又
，且
，解得
或

（2）因为
，所以
，所以
，又
或
，于是

17.(1)当
时,
, 由
得

当
时,
,

,

当
时,
是公差
的等差数列.

是首项
,公差
的等差数列.

数列
的通项公式为
.

(2)

18. （1）由题意，
，
，

是直二面角
的平面角，………2分

，又
，

平面
，

又
平面
．

平面
平面
． ………5分

（2）作
，垂足为
，连结
（如图），则
，

是异面直线
与
所成的角． ………6分

在
中，易得
，
，

．又
．

在
中，
．

异面直线
与
所成角的正切值为
． ………10分

（3）由（I）知，
平面
，

是
与平面
所成的角，且
．

当
最小时，
最大， ………12分

这时，
，垂足为
，
，
，

与平面
所成最大角的正切值为
．………15分

19.（1）因为
，故

设
，
，则
故
则

因此直线l的方程为

（2）由于
，因此
故切线
的方程为
，化简得

则圆心（0，-1）到
的距离为
，且
，故

则

，则点F到
距离

则

今

则
，

故

20. (1)当
，