严州中学2016届高三1月阶段测试数学(文科)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则

A.
B.

C.
D.

2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于

A．10 cm3 B．20 cm3

C．30 cm3 D．40 cm3

3．为得到函数
的图象，只需将函数
的

图象

A. 向左平移
单位 B. 向右平移
单位

C. 向左平移
单位 D. 向右平移
单位

4．已知
为实数，则

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

5．若函数
的图象如图所示，则

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

6．设
是定义在
上的函数，则“函数
为偶函数”是“函数
为奇函数”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．如图，F1，F2是双曲线C1：
与椭圆C2的公共

焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是

A．
B．
C．
D．

8．已知平面向量
满足
，且
，
．

A. 若
，则
，
B. 若
，则
，

C. 若
，则
，
D. 若
，则
，

非选择题部分 (共110分)

注意事项:

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图, 可先使用2B铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9．计算：
_______．

10．函数
的最小正周期是_______，振幅是_______．

11．已知函数
则
_______，函数
的单调递减区间是_______．

12．设
，实数
满足
若的最大值是0，则实数
=_______，的最小值是_______．

13．函数
在
_______处取到最小值，且最小值是_______．

14．设A(1，0)，B(0，1)，直线l：y＝ax，圆C：(x－a)2＋y2＝1．若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是________．

15．已知向量
及实数
满足
．若
，则
的最大值是________．

三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本题满分14分) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2a cos C＋c＝2b．

(Ⅰ) 求角A的大小；

(Ⅱ) 若a2＝3bc，求tan B的值．

17．(本题满分15分) 已知等差数列{an}的首项a1＝2，a7＝4a3，前n项和为Sn．

(Ｉ) 求an及Sn；

(Ⅱ) 设bn＝
，n∈N*，求bn的最大值．

18．（本题满分15分）如图，已知矩形
所在平面与等腰直角三角形
所在平面互相垂直，
，
，
为线段
的中点．

(Ⅰ) 证明：
；

(Ⅱ) 求
与平面
所成的角的余弦值．

19．（本题满分15分）已知函数
．

(Ⅰ)求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ) 函数
在
上的最大值与最小值的差为
，求
的表达式．

20．（本题满分15分）已知抛物线
与直线
交于
两点，
，点
在抛物线上，
．

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 求点
的坐标．

数学(文科) 参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。

1．A 2．B 3．C 4．B

5．D 6．C 7．B 8．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。

9． 3 10．
，
11．1，
12．4，

13．
，
14．[
，
] 15．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．本题主要考查正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力。满分14分。
[,]

(Ⅰ) 由题意及正弦定理得

2 sin A cos C＋sin C＝2 sin B ………… 2分

＝2 sin (A＋C)

＝2 (sin A cos C＋cos A sin C)，

即sin C (2 cos A－1)＝0． ………… 4分

因为sin C≠0，所以cos A＝
，从而得

A＝
． ………… 6分

(Ⅱ) 由A＝
及余弦定理得

b2＋c2－bc＝a2＝3bc， ………… 8分

即 b2＋c2－4bc＝0，

所以

＝2±
．

当
＝2＋
时，

又sin C＝sin (
－B)＝
cos B＋
sin B，

故
＝
＝
＝
， ………… 11分

所以tanB＝－2－
．

当
＝2－
时，同理得tan B＝2－
．

综上所述，tan B＝2＋
或2－
．　 ………… 14分 　　　　　　　　　　　

17．本题主要考查等差数列的概念与通项公式、求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 设公差为d，由题意知

a1＋6d＝4(a1＋2d)， ………… 2分

由a1＝2解得

d＝－3，

故an＝－3n＋5， ………… 5分

Sn＝
，n∈N*． ………… 7分

(Ⅱ) 由(Ｉ)得

bn＝
＝
－
(n＋
)． ………… 9分

由基本不等式得

n＋
≥2
＝8， ………… 11分

所以bn＝
－
(n＋
)≤
，又当n＝4时，bn＝
．

从而得bn的最大值为
． ………… 15分 　　　　　　　

18．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 因为
，所以
，故
．

因为
，所以
，

故
． ………… 3分

因为
，
为
的中点，所以
．

所以
． ………… 7分

(Ⅱ) 如图，将几何体
补成三棱柱
，设
的中点为
，连结
．

因为
，所以
． ………… 10分

因此
为
与平面
所成的角． ………… 11分

不妨设
，则
，因此
，
，
，故

，

所以
与平面
所成的角的余弦值为
． ………… 15分

（可选择不同方法，相应给分。）

19．本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意得

………… 3分

所以函数
的单调递增区间为
． ………… 6分

(Ⅱ) 由题意得

． ………… 9分

当
时，

．

当
时，

．

当
时，

． ………… 14分

综上，

………… 15分

20．本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 将
代入
，得

， ………… 2分

由
及
得（过程相应给分）

． ………… 7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得
，
．

设点
，由
得

，

即

， ………… 10分

将
代入得

，

又
且
，得

，

解得

或
， ………… 14分

所以点
的坐标为
或
． ………… 15分

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