2015学年杭州市五校联盟高三年级第一次诊断考试

理科数学试卷

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式 V=
Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式V=
πR3 其中R表示球的半径

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知p ：关于x 的不等式
有解，q： a>0 或 a <-1, 则p 是q 的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为R；

（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．

则f（x）可以是( )

A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3 D．y=log3x

3.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数
的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数
的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)。已知函数
，有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是（ ）

A．
B．（0，1） C．（0，
） D．

4.已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是( )

A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0

C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0

5.在矩形ABCD中，AB=
，BC=
,P为矩形内一点，且AP=
，若
的最大值为( ’

A．
B．
C．
D．

6.已知不等式组
所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )

A．1 B．﹣3 C． 1或﹣3 D．0

7.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )

A．4 B．
C．
D．8

8.设双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=（　　）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题）

二、填空题: （本大题共7小题, 前4小题每题6分, 后3小题每题4分,共36分）．

9.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1， x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有
．给出下列命题：

①f（3）=0； ②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；

④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）

10.对于各项均为整数的数列
，如果
(
=1，2，3，…)为完全平方数，则称数

列
具有“
性质”．不论数列
是否具有“
性质”，如果存在与
不是同一数列的
，且
同时满足下面两个条件：①
是
的一个排列；②数列
具有“
性质”，则称数列
具有“变换
性质”．下面三个数列：①数列
的前
项和
；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“
性质”的为 ；具有“变换
性质”的为 .

11.下列命题：①函数y=sin（2x+
）的单调减区间为，k∈Z；

②函数y=
cos2x﹣sin2x图象的一个对称中心为（
，0）；

③函数y=sin（
x﹣
）在区间上的值域为；

④函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+
）的图象向右平移
个单位得到；

⑤若方程sin（2x+
）﹣a=0在区间上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=
．

其中正确命题的序号为 ．

12.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且
，
，则
当λ=__________时有最小值为__________．

13.已知变量x，y满足
，则
的取值范围是__________．

14.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为　　．

15.抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为　　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本题满分12分）已知

(I)若
求tan(a+
)的值；

(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，且满足(2a-c)cosB=bcosC．

若
，试证明：a2+ b2+ c2=ab+bc+ca．

（本题满分14分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点。

（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
，求二面角E-AF-C的余弦值。

18.（本题满分16分）已知椭圆C的方程是
=（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，左焦点坐标为（﹣4，0），且过点p(
)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．

19.（本题满分16分）函数
的定义域为
，若存在常数
，使得
对一切实数
均成立，则称
为“圆锥托底型”函数．

（1）判断函数
，
是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．

（2）若
是“圆锥托底型”函数，求出
的最大值．

20.（本题满分16分）数列
：满足

(1)：证明数列
是等比数列；（2）求数列
的通项公式;

（3) 设
,数列
的前
项和为
,求证:

试卷参考答案与评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8



B

C

B

C

B

A

B

C



二、填空题: （本大题共7小题, 前4小题每题6分, 后3小题每题4分,共36分）．

9.①②④ 10.①；② 11.①②⑤ 12.
，

13.[
，
] 14.
15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.

17.（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形。因为E为BC的中点，所以AE⊥BC又BC∥AD，因此AE⊥AD（2分）因为PA⊥平面ABCD，AE
平面ABCD，所以PA⊥AE（4分）而PA
平面PAD，AD
平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD又PD
平面PAD，所以AE⊥PD。（6分）

（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角在Rt△EAH中，AE=
，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大（8分）此时tan∠EHA=
，因此AH=
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2因为PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，（10分）在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=
，AO=AE·cos30°=
，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=
又
（12分）在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
（14分）

18.解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为
，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，即椭圆的方程为
，∵点
在椭圆上，∴
，

解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为
．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又
，则得
，
（8分）所以
，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，而
，所以PQ的斜率为
，因此，过P点引圆M的切线方程为：
，即
（12分）

令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），所以
，
因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=
．（16分）

19.（1）．
，即对于一切实数
使得
成立，
“圆锥托底型”函数.对于
，如果存在
满足
，而当
时，由
，

，得
，矛盾，

不是“圆锥托底型”函数．（8分）

（2）

是“圆锥托底型” 函数，故存在
，使得
对于任意实数恒成立．
当
时，
，此时当
时，
取得最小值2，

．而当
时，
也成立．

的最大值等于
．（16分）

20.解：(Ⅰ)由

得
（2分）

，即　
， （4分）
是以２为公比的等比数列（5分）　

（2）又

（7分）即
，
（9分）故
（10分）

（3）
（12分）
（14分）

又

（16分）

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