2015学年杭州市五校联盟高三年级第一次诊断考试

文科数学试卷

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式 V=
Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式V=
πR3 其中R表示球的半径

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.下列命题中，真命题是( )

A．存在x<0，使得2x>1

B．对任意x∈R，x2 -x+l>0

C． “x>l”是“x>2”的充分不必要条件

D．“P或q是假命题”是“非p为真命题”的必要而不充分条件

2.定义在R上的奇函数f (x)满足f(x+1)=f（一x），当x∈(0，1)时，

，则f (x)在区间[1，
]内是( )

A．增函数且f（x）>0 B．增函数且f(x)

C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f（x）<0

3.已知函数f（x）=x2+ex﹣
（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )

A．（﹣∞，
） B．（﹣∞，
） C．（﹣
，
） D．（﹣
，
）

4.在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )

A．
B．

C．
D．

5.已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，则
=( )

A．
B．一
C．
D．一

6.已知三个向量
，
，
共线，其中a、b、c、A、B、C分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

7.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（　　）

A．
B．
C．
D．3

8.下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为( )

A．e1＞e2＞e3 B．e1＜e2＜e3 C．e2=e3＜e1 D．e1=e3＞e2

第II卷（非选择题）

二、填空题: （本大题共7小题, 前4小题每题6分, 后3小题每题4分,共36分）．

9.设平面点集A={（x，y）|（x-l）2+（y- l）2≤l}，B={（x，y）|（x+1）2+(y+1)2≤1)，C=(x，y) |y—
≥0），则
所表示的平面图形的面积是 .

10.已知函数f（x）=
，则f（6）= ．

11.已知等差数列{an}中，满足S3=S10，且a1＞0，Sn是其前n项和，若Sn取得最大值，则n=　　．

12.下列四种说法

①在△ABC中，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；

②等差数列{an}中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为
；

③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则
的最小值为5+2
；

④在△ABC中，已知
，则∠A=60°．

正确的序号有　　．

13.实数x、y满足
，则z=x2+y2+2x﹣2y的最小值为　　．

14.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V= ．

15.已知椭圆
的半焦距为C，（C＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=
（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）

（1）求角B的大小；

（2）若b=4，△ABC的面积为
，求a+c的值．

17.（本小题满分15分）如图，边长为
的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=
AB=1，点M在线段EC上．

（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B﹣CDM的体积为
．

18.（本小题满分15分）已知值域为[-1，+
)的二次函数满足
，且方程
的两个实根
，
满足
。

（1）求
的表达式；

（2）函数
在区间[-1,2]内的最大值为
，最小值为
，求实数
的取值范围。

19.（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=1；递增的等差数列{bn}满足b1=1，b3=b
﹣4．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn是an，bn的等比中项，求数列{c
}的前n项和Tn；

（3）若c
≤
t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围．

20.（本小题满分15分）已知两点
及
，点
在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

（1）求椭圆
的方程；

（2）如图，动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，点
是直线
上的两点，且
，
． 求四边形
面积
的最大值．

试卷参考答案与评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8



B

D

B

D

C

B

A

D



二、填空题: （本大题共7小题, 前4小题每题6分, 后3小题每题4分,共36分）．

9.
10.1 11.6或7 12.①③④ 13.0 14.
15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），…（3分）

所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB…（5分）

所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB ∴cosB=﹣
…（7分） ∴B=
…（9分）

（2）由
=
得ac=4…（10分）．

由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16…（12分）∴a+c=2
…（14分）

17.（Ⅰ）证明：∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=
，∵AD=
，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，

∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD（1分），∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

∴ED⊥平面ABCD，∴BD⊥ED（3分），∵AD∩DE=D，∴BD⊥平面ADEF，∵BD?平面BDM，

∴平面BDM⊥平面ADEF；（5分）

（Ⅱ）解：如图，在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，∵ED⊥平面ABCD，

∴MN⊥平面ABCD（7分），∵VB﹣CDM=VM﹣CDB=
=
，（9分）∴
=
，（11分）∴MN=
，（13分）∴
=
=
，∴CM=
CE（14分），∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．（15分）

18.

19.解：（1）当n=1时，a1=S1，2S1+a1=1，解得a1=
；当n＞1时，2Sn+an=1，可得2Sn﹣1+an﹣1=1，

相减即有2an+an﹣an﹣1=0，即为an=
an﹣1，则an=（
）n；设递增的等差数列{bn}的公差为d，即有1+2d=（1+d）2﹣4，解得d=2，则bn=2n﹣1；（5分）

cn是an，bn的等比中项，可得c
=anbn=（2n﹣1）?（
）n；前n项和Tn=1?
+3?（
）2+5?（
）3+…+（2n﹣1）?（
）n；

Tn=1?（
）2+3?（
）3+5?（
）4+…+（2n﹣1）?（
）n+1；相减可得
Tn=
+2﹣（2n﹣1）?（
）n+1=
+2?
﹣（2n﹣1）?（
）n+1；

化简可得前n项和Tn=1﹣（n+1）?（
）n；（10分）

（3）c
≤
t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，即为（2n﹣1）?（
）n≤
t2+2t﹣2恒成立．

由
﹣c
=（2n+1）?（
）n+1﹣（2n﹣1）?（
）n=（
）n?
（1﹣n）≤0，

可得数列{c
}单调递减，即有最大值为c12=
，则
≤
t2+2t﹣2，解得t≥1或t≤﹣7．

即实数t的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞）．（15分）

20.（1）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

，
．又
，
．

椭圆
的方程为
． 5分

(2)将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，

得
．

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
．（8分）

设
，
，

当
时，设直线
的倾斜角为
，

则
，

，

， 12分

，
当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
． 14分

所以四边形
面积
的最大值为
． 15分

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