严州中学2016届高三1月阶段测试数学(理科)试卷

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．直线
的倾斜角是

A.
B.

C.
D.

2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的

体积等于

A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3

3．已知
为异面直线．对空间中任意一点
，存在过点
的

直线

A. 与
都相交B. 与
都垂直

C. 与
平行，与
垂直D. 与
都平行

4．为得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A. 向左平移
单位B. 向右平移
单位

C. 向左平移
单位D. 向右平移
单位

5．已知
为
上的函数，其中函数
为奇函数，函数
为偶函数，则

A. 函数
为偶函数B. 函数
为奇函数

C. 函数
为偶函数D. 函数
为奇函数

6．命题“
，
或
”的否定形式是

A.
，
或
B.
，
或

C.
，
且
D.
，
且

7．如图，A，F分别是双曲线
的左

顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，且
，
．

A. 若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D. 若
，则

非选择题部分 (共110分)

注意事项:

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图, 可先使用2B铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9． 若集合
，
，则
_______，
_______．

10．已知单位向量
满足
．若
，则
_______，
_______．

11．已知等比数列
的公比
，前
项和为
．若
成等差数列，
，则
_______，
_______．

12．设
，实数
满足
若的最大值是0，则实数
=_______，的最小值是_______．

13．若实数
满足
，则
_______．

14．设A(1，0)，B(0，1)，直线l：y＝ax，圆C：(x－a)2＋y2＝1．若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是________．

15．已知函数
，
，且
．记
为
在
上的最大值，则
的最大值是_______．

三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）在
中，内角
所对的边分别是
．已知
，边
上的中线长为4．

(Ⅰ) 若
，求
；

(Ⅱ) 求
面积的最大值．

17．(本题满分15分) 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4， AB＝CD＝
．

(Ⅰ) 证明：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小为60°，求AP的值．

18．（本题满分15分）已知函数

，其中
，
．记
为
的最小值．

(Ⅰ) 求
的单调递增区间；

(Ⅱ) 求
的取值范围，使得存在
，满足
．

19．（本题满分15分）已知
为椭圆
上两个不同的点，
为坐标原点．设直线
的斜率分别为
．

(Ⅰ) 当
时，求
；

(Ⅱ) 当
时，求
的取值范围．

20．（本题满分15分）已知数列
满足
，
．

(Ⅰ) 证明：数列
为单调递减数列；

(Ⅱ) 记
为数列
的前
项和，证明：
．

数学(理科)参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。

1．C2．B3．B4．D

5．A6．D7．D8．D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。

9．
，
10．2，

11．2，
12．4，

13．214．[
，
]

15．2

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 由
及正弦定理得

， .........1分

所以

，

故

， .........3分

所以
，由余弦定理得

，

解得

． .........6分

(Ⅱ) 由
知
，及
，解得

． .........8分

所以
的面积

． .........10分

由基本不等式得

，.........13分

当且仅当
时，等号成立．

所以
面积的最大值为
． .........14分

17．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得

CE＝
＝1， DE＝
＝3，.........3分

所以BE＝DE，从而得

∠DBC＝∠BCA＝45°，.........5分

所以∠BOC＝90°，即

AC⊥BD． .........6分

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC． .........7分

方法一：

(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．

由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°． .........11分

在Rt△DOH中，由DO＝
，得OH＝
． .........12分

在Rt△PAC中，
＝
．设PA＝x，可得
＝
．.........14分

解得x＝
，即 AP＝
． .........15分

方法二：

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．.........8分

由题意知各点坐标如下：

A(0，－
，1)， B(
，0， 0)，

C(0，
，0)， D(－
，0， 0)．.........9分

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－
，t) (t＞0)．

设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由
＝(－
，－
，0)，
＝(－
，
，－t) 知

取y＝1，得

m＝(－2，1，
)． .........12分

又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，于是 .........13分

|cos< m，n>|＝
＝
＝
．

解得t＝
，即 AP＝
． .........15分

18．本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意得

．.........2分

所以，当
时，即当
时，函数
的单调递增区间为
；.........5分

当
时，函数
的单调递增区间为
． .........7分

(Ⅱ)由
的单调性得

.........10分

由
与
得

， .........12分

由
与
得

． .........14分

综上，
的取值范围为
． .........15分

19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ)由直线
斜率
，得直线
的方程为

， .........2分

代入椭圆方程得

，

所以

． .........5分

(Ⅱ) 设点
，
，直线
的方程为
．

由
消去
得

． .........7分

故
，且

　① .........9分

由
得

，

将
，
代入得

，②

将①代入②得

． .........12分

联立
与
得

.........13分

解得
的取值范围为

．.........15分

20．本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。

(Ⅰ)由题意知
，故

， .........6分

所以数列
为单调递减数列．

(Ⅱ) 因为
，
，所以，当
时

，

得

，

故

． .........8分

因为

， .........11分

故

．.........13分

所以

． .........15分

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