泰州市2016届高三第一次模拟考试

数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合
，集合
，则
▲ ．

2．如图，在复平面内，点
对应的复数为
，若
（
为虚数单位），

则
▲ ．

3．在平面直角坐标系
中，双曲线
的实轴长为

▲ ．

4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方

法从所有师生中抽取一个容量为
的样本，已知从男学生中抽取的人数为100

人，那么
▲ ．

5．执行如图所示的伪代码，当输入
的值分别为
时，最后输出的

的值为 ▲ ．

6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为
，甲乙下成和棋的概率为
，则乙不输棋的概率为 ▲ ．

7．已知直线
与圆
相交于
两点，若
，

则
▲ ．

8．若命题“存在
”为假命题，则实数
的取值范围是 ▲ ．

9．如图，长方体
中，
为
的中点，三棱锥

的体积为
，四棱锥
的体积为
，则

的值为 ▲ ．

10．已知公差为
的等差数列
及公比为
的等比数列
满足
，

则
的取值范围是 ▲ ．

11．设
是
上的奇函数，当
时，
，记
，则数列

的前
项和为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系
中，已知点
分别为
轴，
轴上一点，且
，若点

，则
的取值范围是 ▲ ．

13．若正实数
满足
，则
的最大值为 ▲ ．

14．已知函数
（其中
为常数，
），若实数
满足：①
，②

，③
，则
的值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

在
中，角
的对边分别为
，向量
．

（1）若
，求证：
；

（2）若
,
，求
的值．

16．（本题满分14分）

如图，在三棱锥
中，
，
，点
，
分别为
，
的中点．

（1）求证：直线
平面
；

（2）求证：

．

17．（本题满分14分）

一个玩具盘由一个直径为
米的半圆
和一个矩形
构成，
米，如图所示．小球从
点出发以
的速度沿半圆
轨道滚到某点
处后，经弹射器以
的速度沿与点
切线垂直的方向弹射到落袋区
内，落点记为
．设
弧度，小球从
到
所需时间为
．

（1）试将
表示为
的函数
，并写出定义域；

（2）求时间
最短时
的值．

18．（本题满分16分）

已知数列
满足
，其中
是数列
的前
项和．

（1）若数列
是首项为
，公比为
的等比数列，求数列
的通项公式；

（2）若
，
，求数列
的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设
，求证：数列
中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

19．（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系
中， 已知圆

，椭圆

，
为椭圆右顶点．过原点
且异于坐标轴的直线与椭圆
交于
两点，直线
与圆
的另一交点为
，直线
与圆
的另一交点为
，其中
．设直线
的斜率分别为
．

（1）求
的值；

（2）记直线
的斜率分别为
，是否存在常数
，使得
？若存在，求
值；若不存在，说明理由；

（3）求证：直线
必过点
．

20．（本题满分16分）

已知函数
，
，
．

若
，求证：

（ⅰ）
在
的单调减区间上也单调递减；

（ⅱ）
在
上恰有两个零点；

若
，记
的两个零点为
，求证：
．

泰州市2016届高三第一次模拟考试

数学试题（附加题）

21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分.

A．（几何证明选讲，本题满分10分）

如图,圆
是
的外接圆,点
是劣弧
的中点,连结
并延长,与以
为切点的切线交于点
,求证:
.

B．（矩阵与变换，本题满分10分）

已知矩阵
的一个特征值为
,求
.

C．（坐标系与参数方程，本题满分10分）

在平面直角坐标系
中,已知直线
与椭圆

的一条准线的交点位于
轴上,求实数
的值.

D．（不等式选讲，本题满分10分）

已知正实数
满足
，求证：
.

22．【必做题】（本题满分10分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA1 = 4．

（1）设
，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为
，求
的值；

（2）若点D是AB的中点，求二面角D—CB1—B的余弦值．

23. 【必做题】（本题满分10分）

已知
，若存在互不相等的正整数
…
，使得
…
同时小于
，则记
为满足条件的
的最大值．

求
的值；

对于给定的正整数

，

（ⅰ）当
时，求
的解析式；

（ⅱ）当
时，求
的解析式．

高三数学参考答案

一、填空题

1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；

6．
； 7．
； 8．
； 9．
； 10．
；

11．
； 12．
； 13．
； 14．
.

二、解答题

15. 证明：（1）因为
，

所以
，所以
. ……………7分

（2）因为
，所以
，即
，

因为
，所以
，又
，所以
，则
，…12分

所以
. ……………14分

16. 证明（1）∵点
，
分别为
，
的中点，

∴
，

又∵
平面
，
平面
，

∴直线
平面
． ……………6分

（２）∵
，

∴
，
，

又∵
，
在平面
内，

∴
平面
， ……………8分

∵

平面
，∴
，

∵
，
为
的中点，∴
，

∵
，
，
，
在平面
内，

∴
平面
， ……………12分

∵

平面
，∴
． ……………14分

17. 解：（1）过
作
于
，则
，

，
，
，

所以
，
．……7分

（写错定义域扣1分）

（2）
，

，…………9分

记
，
，











-

0

+