钦州港经济技术开发区中学2015年秋季学期期末考试

高三理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合

，则集合
（ ）

A.
B.
C.
D. R

2．已知随机变量
服从正态
分布
，若

，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 执行图中所给的程序框图，则运行后输出的结果是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）

5.从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验
发现是假币，则这两张都是假币的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.若
，则下列不等式中总成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 由直线
及曲线
围成的封闭图形的面积为

A．1 B．3 C．6 D．9

8. 某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图

都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为

A．
B．
C．
D．

[来源:学科网ZXXK][来源:学|科|网Z|X|X|K]

9. 若执行右面的程序框图，则输出的
值是

A．4 B. 5 C. 6 D. 7

10. 从抛物线
图象上一点
引抛物线准线的垂线，垂足为
，且
，设抛物线的焦点为
，则
的面积为

A．10 B．20
C．40 D．80

11. 实数
满足条件
，则
的最小值为

A．
B．
C．0 D．1

12. 已知函数
的图象关于点
对称，且当
时，
成立（其中
是
的导函数），若

，则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小
题，每小题5分，共20分。

13.已知
，
满足
且z的最大值是最小值的4倍，则
的值是____.

14.抛物线
的焦点F到双曲线
渐近线的距离为_______.

15.已知
，则
_______.

16.设正实数
满足
，当
取最小值时，则
的最大值为_______.

三.
解答题(本大题共6
小题,共70
分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分12分）

已知
分别为
三个内角
所对的边长，且

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”

冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据
如下表所示：

到班级宣传

整理、打包衣物

总计



20人[来源:Z*xx*k.Com]

30人

50人



（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?

（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名
女生，从中选出2名志愿者，用
表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量
的分布列及数学期望.

19．（本小题满分12分
）

如图，在四棱锥
中，侧面
底面
，且
，
，
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

[来源:学科网ZXXK]

20．
（本小题满分12分）

平面直角坐标系
中，经过椭圆
：
的一个焦点的直线

与
相交于
两点，
为
的中点，且

斜率是
．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)直线
分别与椭圆
和圆
：
相切于点
，求
的最
大值．

21.已知正项数列
中，
，
，
，
成等比数列，
，
，
成等差数列，(1)证明
是等差数列，并求
的通项公式；（2）令
，前
项和为
，求使
的最大自然数

22. 如图，分别过椭圆E：
左右焦点
、
的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的
斜率
、
、
、
满足
．已知当l1与x轴重合时，
，
．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在定点M、N，使得
为定值．若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．

答案：1C 2D 3B 4B 5D 6A7．D 8．C 9．A 10．A 11．C 12．B

13.
14.
15.
16.

17．解：（Ⅰ）由正弦定理
，得

又

，

可得
…………(6分)

（Ⅱ）若
，则
，得

，

… (12分)

18. 解：
（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是

所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有
人，

参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有
人，……2分

故“至少有1人是参与班级宣传的志
愿者”的概率是
………4分

（Ⅱ）女生志愿者人数

则

……………9分

∴
的分布列为 ……………10分

0

1

2













∴
的数学期望为
……………12分

19. （Ⅰ）证明：侧面
底面
，且
，
，

所以
，
，
，如图，以点
为坐标原点，分别以直线
，

，
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系. ………………………………2分

设
，
是
的中点，则有，
，
，

，
，
，于是
，
，
，

因为
，

，所以
，
，且
，

因此
平面
…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面
的一个法向量为

，设平面
的法向量为

，
，
，

则

所以

不妨设
，则
，

于是
， …………………………………………………10分

由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角
的余弦值为
．……………12分

20. 解：（1）设
，
，则

，
，
，
，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

由此可得
，
，

又由题意知，
的右焦点是
，故
，

因此
，
，所以椭圆
的方程是
；…………（6分）

（2）设
分别为直线
与椭圆和圆的切点，
，

直线

的方程为：
，代入
得

，

判别式
，得
①，

，

直线
与
相切，所以
，

即
，再由①得
，
，

，

因为
，当
时取等号，所以
，

因此当
时，
的最大值是1．…………（12分）

21．（1）证明略
（2）2015

22.（1）
（2）