河池高中2016届高三第五次月考试题

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知复数
在复平面上对应的点位于第二象限，且
（其中
是虚数单位），则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.函数
在
处的切线方程是（ ）

A．
B.
C．
D．

4.等差数列
的前n项和为
，已知
，
，则
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在
中，
为中线
上一个动点，若
，则
的最小值是（ ）

A．2 B．-1 C．-2 D．-4

7．如图，正方体
中，
棱
的中点，用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若
，
，则
（ ）

A．
B．
C．7 D．

9．运行如图所示的流程图，则输出的结果
是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
，
满足约束条件
，若
的最大值为
，则
（ ）

A．
B．
C．1 D．2

11．抛物线
的焦点为
，其准线与双曲线
相交于
两点，若
为等边三角形，则
（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

12．若
表示
的区间长度，函数
的值域区间长度为
，则实数
的值为（ ）

A．1 B．2 C．
D．4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.
展开式中的常数项是________．（用数字填写答案）

14.设
的内角
的对边分别为
，且
，则
________．

15.函数
是定义在
上的奇函数，并且当
时，
，那么
________．

16.在平面直角坐标系
中，以点
为圆心，且与直线
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）在数列
中，
，（Ⅰ）证明数列
成等比数列，并求
的通项公式；（Ⅱ）令
，求数列
的前n项和
．

18.（本小题满分12分）甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏．

（I）求在前3次抛掷中甲得2分，乙得1分的概率；

（II）若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率；

（III）用
表示决出胜负抛硬币的次数，求
的分布列及数学期望．

19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
平面
，
，
分别是
的中点，（I）证明：
；（II）若
，求二面角
的余弦值．

20.（本小题满分12分）已知椭圆
的两个焦点分别为
，过点
的直线与椭圆相交于
两点，且
．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）求直线
的斜率．

21.（本题满分12分）已知函数
,(Ⅰ)当
时，求函数
的点
处的切线方程；（Ⅱ）设
，若函数
在定义域内存在两个零点，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）如图，
是圆
的直径，直线
与圆
相切于
，
垂直
于
，
垂直
于
，
垂直
于
，
垂直
于
，连接
，证明：（I）
；（II）
．

23.（本小题满分10分）在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆
，直线
的极坐标方程分别为
，（I）求
与
交点的极坐标；（II）设
为
的圆心，
为
与
交点连线的中点．已知直线
的参数方程为
（
为参数），求
的值．

24.（本小题满分10分）已知函数
，其中
，（I）当
时，求不等式
的解集；（II）已知关于x的不等式
的解集为
，求
的值 ．

理科数学参考答案

BABB ACCD CCDD

13．-20 14．4 15．-3 16．

17．解：（I）由条件得
，又
时，
，

故数列
构成首项为1，公比为
的等比数列． …………………………4分

从而
，即
，　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（II）由
得
，

18．解：（I）记前3次抛掷中甲得2分，乙得1分为事件
，

则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（II）记甲已经积得2分，乙已经积得1分，甲最终获胜为事件
，

则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（III）据题意，
的取值为3、4、5，

且
，

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

其分布列如下：

3

4

5



P









∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．解：（I）证明：由四边形
为菱形，
，可得
为正三角形，因为
为
的中点，所以
，又
，因此
，

因为
平面
，
平面
，所以
，

而
平面
，
平面
且
，

所以
平面
，又
平面
，所以
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（II）由（I）知
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又
分别为
的中点，所以
，所以
．

设平面
的一法向量为
，则
，因此
．

取
，则
，因为
，所以
平面
，

故
为平面
的一法向量，又
，所以

，

因为二面角
为锐角，所以所求二面角的余弦值为
．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（I）由
，且
，得
，从而
，

整理，得
，故离心率
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（II）解：由（I）得
，所以椭圆的方程可写为
，

设直线
的方程为
，即
．

由已知设
，则它们的坐标满足方程组
，

消去
整理，得
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

依题意，
，得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ ）

而
， ①

， ② ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

由题设知，点
为线段
的中点，所以

③

联立①③解得
，

将
代入②中，解得
满足（）式，故所求
的值是
．　．．．．．．．．．．．12分

21．解：（I）
的定义域为
，

∵
，∴

∴
，∴
，

所以函数
在点
处的切线方程为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（II）
在定义域内存在两个零点，即
在