江门市2016届普通高中高三调研测试

数 学（文科）试 题　2015.12

本试卷共4页，24题，满分150分，测试用时120分钟．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则

A．
是
的真子集 B．
是
的真子集 C．
D．

2．已知
为虚单位，复数
，则

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间
上单调递减的是

A．
B．
C．
D．

4．实数
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为

A．
B．
C．
D．

5．三视图如右图的几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

6．已知
：
，
：
．如果
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7．向量
、
满足
，
，且
，则
与
的夹角为

A．
B．
C．
D．

8．已知角
的始边与
轴的正半轴重合，终边在直线
上，则

A．
B．
C．
D．

9．在等差数列
中，
，则数列
的前
项和

A．
B．
C．
D．

10．一条光线从点
射出，经
轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为

A．
或
B．
或
C．
或
D．
或

11．已知椭圆
：
（
）的左焦点为
，右顶点为
，点
在椭圆上，且
轴，直线
交
轴于点
，若
，则椭圆
的离心率是

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若
，且
，则
的值是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知递减的等比数列
满足
，
，则通项
．

14．函数
在
内有零点，则实数
的取值范围为 ．

15．已知抛物线
的准线过双曲线
（
，
）的一个焦点，且双曲线的实轴长为2，则该双曲线的方程为 ．

16．如图，正方体
的棱长为1，
对角线
的三等分点，
到直线
的距离为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知
是正项等差数列，
的前
项和记为
，
，
．

⑴求
的通项公式；

⑵设数列
的通项为
，求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

⑴求
的最小正周期；

⑵求
在区间
上的最大值和最小值．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，侧棱
底面
，底面
为菱形，
为侧棱
上一点．

⑴若
，求证：平面
平面
；

⑵若
平面
，求证：
是
的中点．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
（
）的焦点为
、
，短轴为
，四边形
是边长为
的正方形．

⑴求椭圆
的方程；

⑵过点
且斜率为
的直线交椭圆
于
、
两点，证明：无论
取何值，以
为直径的圆恒过点
．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

⑴证明：
，
；

⑵若
时，不等式
恒成立，求常数
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）

已知向量
、
、
满足条件
，
．

⑴求证：
是正三角形；

⑵试判断直线
与直线
的位置关系，并证明你的判断．

23．（本小题满分10分）

已知
、
、
是三个平面，
，
，
．

⑴若
，求证：
、
、
三线共点；

⑵若
，试判断直线
与直线
的位置关系，并证明你的判断．

24．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，直线
：
，
经过点
且与
垂直．

⑴求直线
的方程；

⑵设
、
、
轴两两相交的交点为
、
、
，试求
内接圆的方程．

参考答案

一、选择题 BDCA BBCB ADAD

二、填空题
，
（端点、开闭每个1分，全对5分），
，

三、解答题

17．解：⑴设
的公差为
，由已知得
……2分

解得
，或
（与题意“
是正项等差数列”不符，舍去）……4分，

的通项公式为
……5分

⑵由⑴得
……6分

……8分

……9分

……11分，
……12分

18．解：⑴
……1分

……3分

……5分

的最小正周期
……7分

⑵当
时，
……10分

（对1个端点给2分，全对给3分）

在区间
上的最大值
，最小值
……12分

19．证明：⑴连接
，因为
为菱形，所以
……1分

因为
底面
，所以
……2分

因为
，所以
平面
……4分，
……5分

因为
，
，所以
平面
……6分

因为
平面
，所以平面
平面
……8分

⑵设
，连接
，因为
为菱形，所以
……9分

因为
平面
，平面
平面
，所以
……11分

所以
，
是
的中点……12分

20．⑴依题意，
，
……2分，
……3分

椭圆
的方程为
……4分

⑵过点
且斜率为
的直线的方程为
……5分

由
得
……6分

设
、
，则
，
……7分

，

……8分

……9分

……10分

所以
，
……11分

所以
在以
为直径的圆上，即以
为直径的圆恒过点
……12分

21．⑴证明：
，

……2分

，
……3分

因为
在区间
上是增函数，所以

……4分

⑵设
，则

……5分

解
得
或
……6分

若
，则
，
……8分，
，
，
……9分

若
，则当
时，
……10分，从而
，
……11分

所以，
，
的取值范围为
……12分．

22. 证明：⑴（方法一）∵
，

，

……1分

∵
，

，