江门市2016届普通高中高三调研测试

数 学（理科）试 题　2015.12

本试卷共4页，24题，满分150分，测试用时120分钟．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．已知
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．

A．
B．
C．
D．以上均不正确

4．点
从点
出发，按逆时针方向沿周长为
的图形

运动一周，
、
两点连线的距离
与点
走过的

路程
的函数关系如图1，那么点
所走的图形是

A． B． C． D．

5．若“
，
”为假命题，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6．已知实数
，
，
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的焦距为

A．
B．
C．
或
D．
或

7．已知函数
（
，
）的最小正周期是
，若将其图像向右平移
个单位长度后得到的图像关于原点对称，则函数
的图像

A．关于直线
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于点
对称

8．点
是
所在平面内的一点（
不在直线
上），若
，则
与
的面积之比为

A．
B．
C．
D．4

9．在平面直角坐标系中，
、
分别是
轴，
轴上的动点，若以
为直径的圆
与直线
相切，则圆
面积的最小值为

A．
B．

C．
D．

10．一个几何体的三视图如图2所示，

则此几何体的体积是

A．112 B．80 C．72 D．64

11．已知正项数列
，
、
、
成等比数列，

前
项和
满足
，则

的最小值为

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若函数
的图象在
、
两点处的切线重合，则常数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．若奇函数
满足对任意
都有
，且
，则
的值为 ．

14．已知抛物线
与双曲线
（
）有共同的焦点
，则双曲线的渐近线方程为 ．

15．已知实数
，
满足
，则
的最小值为 ．

16．如图3，正方体
的棱长为1，
为对角线
的三等分点，
到直线
的距离为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知
是一个等差数列，
的前
项和记为
，
，
．

⑴求数列
的通项公式；

⑵设数列
满足
，
，求数列
的通项公式．

18．（本小题满分12分）

在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，
．

⑴若
，求
；

⑵若
的面积
，求边长
的最小值．

19．（本小题满分12分）

如图4，已知正三棱柱
，延长
至
，使
为
的中点．

⑴求证：平面
平面
；

⑵若
，
，求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
（
）的离心率为
，且
．

⑴求椭圆
的方程；

⑵直线
（
是正常数）与椭圆
交于
、
两点，当
时，求直线
的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，其中常数
．

⑴当
时，求
的极大值；

⑵已知
，设
、
是曲线
上的相异两点，
、
是曲线
在
、
两点处的切线，若
，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）

已知平面向量
、
、
满足条件
，
．

⑴求证：
是正三角形；

⑵试判断直线
与直线
的位置关系，并证明你的判断．

23．（本小题满分10分）

已知
、
、
是三个平面，
，
，
．

⑴若
，求证：
、
、
三线共点；

⑵若
，试判断直线
与直线
的位置关系，并证明你的判断．

24．（本小题满分10分）

已知圆
：
和直线
：
．

⑴试判断直线
与圆
之间的位置关系，并证明你的判断；

⑵求与圆
关于直线
对称的圆的方程．

参考答案

一、选择题 BDAC BDBC ABCD

二、填空题
，
（只写一条直线给3分），
，

三、解答题

17.解：⑴设数列
的公差为
，由已知得
……3分

解得
……4分，
的通项公式为
……5分

⑵由⑴得
……6分

当
时，
……8分

……11分

满足
，

，
……12分

18.解：⑴

，

……2分

又

，

……3分

，

……4分

，
，

……6分

⑵

，

……7分

，

……8分

，

……10分

，
，即
的最小值为
------12分

19. ⑴证明：由已知
是正三角形，
，

又



……1分

，
……2分

又

，

……3分

，

……4分

又


平面
平面
……5分

⑵

，
，
以A为原点，建立空间直角坐标系……6分

如图，
……7分

……8分

设平面
的法向量
，则

……9分

所以
取
，则
……10分

取平面
的法向量为
，则
，

由图知二面角
为锐角，所以二面角
的余弦值为
……12分

（方法二）取AD的中点E，连接CE、C1E……6分

，

，

底面
，
，
，

，
，
是二面角
的平面角……8分

，
，

……9分

底面
，

，
……11分

二面角
的余弦值为