【考试范畴】集合与简易逻辑，函数与导数，三角函数和解三角形，平面向量，数列，不等式与推理证明，立体几何，解析几何

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山东省部分重点中学2016届高三第二次联考

文科数学试题

命题学校：济南一中 命题人：赵京伟

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm黑色签字笔和2B铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.

3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸.

参考公式：锥体的体积公式:
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高.

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.

1.（原创）已知全集
,集合
,集合
,则集合
（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】B

【解析】
,
,则
,故选B.

【考点】集合的交集与补集运算.

2.（原创）设
,命题“若
,则
”的逆否命题是( )

（A）若
,则

(B) 若
,则

(C) 若
,则

(D) 若
,则

【答案】

【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选
.

【考点】命题及其关系，逻辑连接词.

3.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )

(A)y＝sin(2x＋
) (B)y＝cos(2x＋
)

(C)y＝sin2x＋cos2x (D)y＝sinx＋cosx

【答案】A

【解析】A、B、C的周期都是π，D的周期是2π

A选项化简后为y＝cos2x是偶函数，故正确答案为A

【考点】三角函数的基本概念和性质，函数的周期性和奇偶性，诱导公式.

4.（原创）将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )

（A）
????（B）
????（
）?
????（
）?
???

【答案】

【解析】由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，
，故选
.

【考点】旋转体的几何特征，球的表面积.

5.（原创）若
是函数
的两个不同的零点，且
成等比数列，若这三个数重新排序后成等差数列，则
的值等于（ ）

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

【答案】C

【解析】由韦达定理得
，
．当适当排序后成等差数列时，
必不是等差中项，当
是等差中项时，
，解得
；当
是等差中项时，
，解得
，综上所述，
，所以

．

【考点】函数的零点，韦达定理，等差中项，等比中项．

6.（原创） 若变量x，y满足约束条件
，则z＝
x＋y的取值范围为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】A

【解析】　依题意，画出可行域，如图所示, z＝
x＋y在点A取得最小值，点C取得最大值．

得点A的坐标为(1，1)，点C的坐标为(2，2)，则z最大值3，最小值
.

【考点】简单的线性规划.

7.（原创）已知
，则
为（ ）

(A) 0 (B) 1 (C)2 (D)4

【答案】C

【解析】 由题意，得函数的定义域为R，

【考点】函数的奇偶性，推理与证明.

8.（原创）在平面直角坐标系中，O为原点，A(2，0)，B(0，2)，动点P满足
＝1，则
的最大值是(　　)

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】B

【解析】由
＝1，得动点P在以A为圆心，半径为1的圆上，设P为
，
，所以
的最大值为点P到点(0，-2)的最大值，即圆心A到点(0，-2)的距离加半径，

【考点】向量的坐标运算，向量的几何意义.

9.（原创）函数
与函数
，则函数
的图象可能是 (　　)

【答案】A

【解析】

，定义域为
，
，奇函数所以答案选择A

【考点】对数式的运算，函数的定义域，奇偶性，函数的图像.

10（2014浙江卷改编）设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是（）

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】B

【解析】双曲线的渐近线为y＝±x，易求得渐近线与直线x－3y＋m＝0的交点为A，B.设AB的中点为D.由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，

解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.

【考点】双曲线的离心率，直线与双曲线的位置关系

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11. （原创）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

【答案】

【解析】该几何体为一个四棱锥，直观图如图所示：

由三视图可知，
平面
，

，故选C.

【考点】三视图，棱锥的表面积.

12. （原创）函数
的零点的个数为

【答案】2

【解析】
，由图像可知交点有两个，所以函数的零点个数为2

【考点】函数的零点，函数的图像.

13.（原创） △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的最大值为??????

【答案】

【解析】∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.

由余弦定理得

当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为

∴角B的最大值为

【考点】解三角形，已知三角函数值求角，基本不等式，.

14. （2015四川改编）已知边长为1的等边三角形
，向量
满足
，
，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）

①
为单位向量；②
为单位向量；③
；④
。

【答案】②④

【解析】
,因为
边长为1，所以①不正确，②正确；

，所以③不正确；

，
所以④正确

【考点】向量的基本概念，向量的数量积

15. 设半径为3的圆C被直线
截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长
， 则圆C的标准方程

【答案】

【考点】直线与圆的位置关系

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.

(16)(本小题满分12分)

(原创)已知
，

（I）若
，求
的单调递增区间；

（II）设
的图像在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求
的余弦值.

【答案】（I）
，
；（II）

【解析】（I）
…………………… 2分

，解得
……………………4分

时，
或
……………………5分

的单调递增区间为
，
…………………… 6分

（I I）由题意得P
，Q
．

根据距离公式
，
，

3分

根据余弦定理
6分

（I I）另解：

由题意得
，
8分

根据距离公式

10分

=
12分

【考点】向量的数量积，三角恒等变换，正线性函数的性质，余弦定理.

(17)(本小题满分12分)

（2014,2015山东卷改编）已知数列
是首项为正数的等差数列，数列
的前
项和为
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
，求数列
的前2
项和
.

【答案】（I）
(II)

【解析】（I）设数列
的公差为
，

令
得
，所以
.------------2分

令
得
，所以
. --------4分

解得
，所以
-------6分

（II）由题意知，
------7分

所以
------------9分

10分

----------------------------------------12分

【考点定位】
的关系，等差数列的通项公式，数列求和

(18)(本小题满分12分)

（原创）如图所示，正三棱柱
中，
分别是
的中点。

（I）证明：平面
平面
；

（II）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥
的体积。

【答案】（I）略；(II)
.

【解析】（I）因为三棱柱
是正三棱柱，所以
，所以
，--2分

又
是正三角形
的边
的中点，所以
， ------------------------4分

有因为
，因此
平面
，而
平面
，

所以平面
平面
。 ---------------------------6分

（II）
， ---------------------------8分

，
， ----------------------10分

由第（I）问可知
平面

--------------------------------------------12分

(19)(本小题满分12分)

（2014四川卷改编）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N)．

(I)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的通项an ；

(II)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Sn.

【解析】 (I)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， ------------------ 2分

所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，----------------------- 1分

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－4. ------------------------------------------------------ 5分

(II)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，------------------7分

其在x轴上的截距为a2－.

由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.

所以d＝a2－a1＝1.

从而an＝n，bn＝2n，

所以数列{}的通项公式为＝，-