2015—2016学年度高三期末自主练习

数学试题(文)

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时问为120分钟．

2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清晰。超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1.已知全集

A.
B.
C.
D.

2.在
中，角A,B,C的对边分别为
若
，则角B的值为

A.
B.
C.
D.

3.不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.

4.已知点
为圆
上的动点，则
的最小值为

A.5 B.1 C.0 D.

5.已知函数
和
的图象的对称轴完全相同，若
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

6.函数
的图象大致是

7.已知函数
，则

A.2016 B.
C.2017 D.

8.若
均为单位向量，
，则
的最大值是

A.1 B.
C.
D.2

9.设点F是抛物线
的焦点，
是双曲线
的右焦点，若线段
的中点P恰为抛物线
与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为

A.
B.
C.
D.

10.已知定义在实数集R上的函数
满足
的导数
，则不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.

11.在等差数列
中，

12.某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图中的曲线部分是半径为2的四分之一圆弧，则该几何体的体积为

13.已知实数
满足约束条件
，设不等式组所表示的平面区域为D，若直线
与区域D有公共点，则实数a的取值范围是

14.已知点
，则向量
方向上的投影为

15.已知函数
是定义在R上的偶函数，对于
，都有
成立.当
且
时，都有
.给出下列四个命题：

①
；②直线
是函数
的图象的一条对称轴；③函数
上为增函数；④函数
上有四个零点.

其中所有正确命题的序号为

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤。

16. （本小题满分12分）

已知函数
图象的一个对称中心为
，且图象上相邻两条对称轴间的距离为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）若
，求
的值.

17. （本小题满分12分）

已知正项等比数列
的首项
，前n项和为
，且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和
.

18. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，侧面
均为正方形，
，点D是棱
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求三棱锥
的体积.

19. （本小题满分12分）

甲乙两地相距500千米，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不得超过100千米/小时.已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元
.

（1）把全程运输成本y(元)表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

20. （本小题满分13分）

已知
的两个顶点A,B的坐标分别是
，且AC,BC所在直线的斜率之积等于
.

（1）求顶点C的轨迹
的方程，并判断轨迹
为何种曲线；

（2）当
时，设点
，过点P作直线l与曲线
交于E,F两点，且
，求直线l的方程.

21. （本小题满分14分）

设函数
，其中
.

（1）若函数
图象恒过定点P，且点P关于直线
的对称点在
的图象上，求实数m的值；

（2）当
时，设
，讨论
的单调性；

（3）在（1）的条件下，设
，曲线
上是否存在两点P,Q，使
（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，说明理由.

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