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2015—2016学年第一学期单元测试

高三数学（理）试卷

2015.12

第Ⅰ卷（共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.

1.已知全集为R，集合A={
}，B={
}，
=( )

A．
B．
C．
D．

2.命题“若
，则
且
”的逆否命题是(　　)

A．若
，则
且
B．若
，则
或

C．若
且
，则
D．若
或
，则

3.偶函数
在
上递减，则

大小为 ( )

A.
B.
C.
D.

4.平面直角坐标系内，若曲线
：
上所有的点均在第二象限内，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，α、β为不同的两个平面

①m⊥α，n∥α?m⊥n ②m∥n，n∥α?m∥α

③m∥n，n⊥β，m∥α?α⊥β

④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β?α∥β

其中正确的命题个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6.为了得到函数
图象，只需把函数
图象上所有点（ ）

A.向右平行移动
个单位长度 B. 向右平行移动
个单位长度

C.向左平行移动
个单位长度 D. 向左平行移动
个单位长度

7.已知锐角
的终边上一点
（
，
），则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8.三棱锥
中，
，
，
，
，
， 则三棱锥的外接球的表面积( )

A. 5
B.
C. 6
D. 9

过点
的直线与圆
有公共点，则该直线倾斜角的范围是( )

A.
B.
C.
D.

10.对任意
，不等式
恒成立，则下列不等式错误的是( ）

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.若向量a，b的夹角为
___________.

12.函数
的定义域是________.

13.△ABC的面积为10
，且AB＝5， AC＝8，则BC等于　　　　．

14.已知偶函数
满足
，且当
时，
，若区间
上，函数
有3个零点，则实数k的取值范围是_________.

15.定义在区间
上的连续函数
，如果
，使得
，则称
为区间
上的“中值点”． 下列函数中：

①
；②
；③
；④

在区间
上“中值点”多于一个的函数序号为 ．（写出所有满足条件函数序号）

三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别

，

函数
的图象关于点
对称.

（I）当
时，求
的值域；

（II）若
且
，求△ABC的面积。

17．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，

底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，

平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是

棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
AD=1，CD=
.

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）设PM=t MC，若二面角M-BQ-C的平面角的

大小为30°，试确定t的值.

18.（本题满分12分）各项均为正数的数列
的前
项和为
，已知点
在函数
的图象上，且

（I）求数列
的通项公式；

（II）在
之间插入
个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，求数列
的前
项和
.

19. （本题满分12分）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数
与时间
（小时）的关系为
，
，其中
是与气象有关的参数，且
，若用每天
的最大值为当天的综合污染指数，记作

（1）令
，
，试求
的取值范围

（2）试求函数
。

市政府规定每天的综合污染指数不得超过
，试问目前该市的污染指数是否超标？

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率
，直线
经过椭圆C的左焦点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若过点
的直线与椭圆C交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足向量
（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围.

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

（I）若
的极值点，求实数a的值；

（II）若
上为增函数，求实数
的取值范围；

（III）当
时，方程
有实根，求实数b的最大值.

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2015—2016学年第一学期单元测试

高三数学（理）参考答案

2015.12

选择题 （1-5） B D A D C （6-10）D C C B D

填空题

11. 2 12.
13.7或

14.
15、① ④

解答题

16.

17.解：（I）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ
平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． ………6分

（II）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD． 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则面BQC的法向量为
；
，
，
，
．

设
，则
，
，

∵
，

∴
， ∴ ………10分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
．

∵二面角M-BQ-C为30°，
，

∴
．

18.

19.[ 解]（1）由
得

当
即
时
当
即
时

所以
的取值范围是
…………………………
分

（2）令
，

当
时，即
时，

当
时，即
时，

所以

…………………………
分

（3）当
时，易知
单调递增 所以

当
时，
由
得

时，

单增；当
时，

单减

所以函数
所以没有超标

答：目前该市的污染指数没有超标 …………………………
分

20、解：（I）直线
与
轴交点为
,
…………………1分

，
．……………………………3分

故椭圆
的方程为
．…………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，

由
得
.

，
.

设
，
，
，

，
…………………………………………………7分

∵
，∴
，
，

.

∵点
在椭圆上，∴
，

∴
………………………………………………………………11分

，

∴
的取值范围是为
. …………………………13分

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