高三阶段性教学质量检测数学试题（理）

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集
R，
，则

A．
B.
C．
D．

2.下列命题中正确的个数是

①若
是
的必要而不充分条件,则
是
的充分而不必要条件

②命题“对任意
,都有
”的否定为“存在
,使得
”

③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

3.把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），

再将图象向右平移
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为

A．
B．
C．
D．

4.由曲线
围成的封闭图形面积为

A.
B.
C.
D.

5.已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

6.若
，
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

7.已知数列
满足
，那么
的值是

A. 2014
2015 B.2015
2016 C.2014
2016 D.2015
2015

8.在锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
的值为

A.
B.
C．
D．

如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个

三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝　　

A．8 B．10 C．11 D．12

10.已知函数f (x)对定义域R内的任意x都有f (x)=f (4-x)，且当x≠2时，其导数f ′(x)满足xf ′(x)>2 f ′(x)，若2

A.
B.

C.

D.

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11.已知
与
的夹角为
，若
，且
，则
在
方向上的正射影的数量为 .

12.若存在
，使不等式
成立，则实数a的最小值为 ．

13.已知向量
=

=
,若


，则
的最小值为 .

14.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第10个图中有 个点．

15.已知函数
的图像经过四个象限，则实数
的取值范围为 .

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本题满分12分）

已知
，
，
,（
）．

（I）求函数
的值域；

（II）设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，

求
的值．

17.（本题满分12分）

已知函数
,求函数
的单调递减区间．

18.（本题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，

且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．

（I）求证：PB⊥AD；

（II）若PB=
，求二面角A—PD—C的余弦值．

19.（本题满分12分）

等差数列
的前
项和为
，且
，
.数列
的前
项和为
，

且
．

（I） 求数列
，
的通项公式；

（II）设
，求数列
的前
项和
．

20.（本题满分13分）

某旅游景点预计2016年1月份起，前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝ x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均

消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
．

（I） 写出2016年第x个月的旅游人数f (x)(单位：人)与x的函数关系式；

（II）试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？

21.（本小题满分14分） 已知函数
．

（I）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（II）当
时，讨论函数
在其定义域内的单调性；

（III）若函数
的图象上存在一点
，使得
以为切点的切线
将其图象分割为
两部分，且
分别位于切线
的两侧（点
除外），则称
为函数
的“转点”，问函数
是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个

“转点”，若不存在，说明理由． 高三数学(理科)试题参考答案

一、选择题 1--5 DCDAB 6--10 ABABC

二、填空题11、-1 12、1 13、6 14、91 15、

三．解答题：

16.（I）解：

，
，

从而有
，所以函数
的值域为

（II）由
得
，又因为

所以
，从而
，即

因为
，由余弦定理得

得
，解得
的值为1或2. （经检验满足题意）

17.解：
，
，

①当
时，由
得：
，所以
的单调递减区间为

②当
时，由
得：
，所以的单调递减区间为

③当
时，
，故
无单调递减区间

④当
时，由
得
，此时
的单调递减区间为

18.(Ⅰ)证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA＝PD＝DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，

则PE⊥AD， BE⊥AD，
∴AD⊥平面PBE

又PB平面PBE，∴PB⊥AD；．．．．．．4分

(Ⅱ)解：在△PBE中，由已知得，PE＝BE＝，PB＝，则PB2＝PE2＋BE2，∴∠PEB＝90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)， C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)

则
＝(1,0,)，
＝(－1,,0)，设平面APD的一个法向量为
＝(0,1,0),

设平面PDC的一个法向量为
＝(x,y,z)，列方程得：

令y＝1，则x＝，z＝－1，∴
＝(,1,－1)；则
·
＝1，

∴cos＝
＝＝

由题意知二面角A－PD－C的平面角为钝角，所以余弦值为－

19.（I）由题意，
，得
，

，当
时，
，当
时，

得
，所以
的通项公式为

（II）

当
为偶数时，

为奇数时

所以

20.（I）当2≤x≤12，且x∈N*时

f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，

当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，验证x＝1也满足此式

所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)

（II）第x个月旅游消费总额g(x)＝

即g(x)＝

①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，

解得x＝5或x＝(舍去)．当1≤x<5时，g′(x)>0，当5

∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)

②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，

∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)

综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3125万元

21.（I）当
时，
，则

由此得点
处切线的斜率

所以曲线
在点
处的切线方程为
，即

（II）对
求导，得

①当
时，
，

在
上递增，在
上递减

②当
时，设
，?因为
，则

i）当
时，
，所以
，于是
在
上单调递增

ii）当
时，
，方程的两根为

易知
，则

所以
在
上单调递增，在
上单调递减

综上所述：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；

当
时，
在
上单调递增

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减

（III）
，设
，
，则在
点处的切线
方程

为
.令

则
.

①当
时，
，有
；
，有

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，于是

故
都在切线
的同侧，此时不存在“转点”

②当
时，取
，即

,所以
在
上单调递增

又
，所以当
时，
；当
时，
.

即
的图象在切线
的两侧，所以
为函数
的一个“转点”

综上所述：当
时，存在
是函数
的一个“转点”

当
时，
不存在“转点”

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