第一学期学分认定考试

高三数学(理)试题

2016．01

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将有关信息填在答题卡规定的位置上，按要求贴好条形码。

2．第I卷答案请用2B铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。

1.设集合
，则
等于

A.
B.
C.
D.

2.若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A.3 B.
C.0 D.

3.平面向量
的夹角为

A.
B.0 C.
D.2

4.已知椭圆
上有且仅有一个点到直线
的距离为1，则实数a的取值情况为

A.
B.

C.
D.

5.阅读右侧的算法框图，输出的结果S的值为

A.
B.0 C.
D.

6.设
，若2是
的等比中项，则
的最小值为

A.8 B.4 C.2 D.1

7.已知双曲线
的一个实轴端点恰与抛物线
的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为

A.
B.
C.
D.

8.在
中，角A,B,C所对的边分别是
，若
，且
则
的面积等于

A.
B.
C.
D.

9.不等式
有解的实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.若
在区间
上取值，则函数
在R上有两个相异极值点的概率是

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）.

12.若
三者的大小关系为___________.（用＜表示）；

13.设
，则二项式
的展开式的常数项是__________.

14.双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的离心率是___________.

15.已知O是坐标原点，点A的坐标为
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的最大值是____________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知函数
（其中
），若
的一条对称轴离最近的对称中心的距离为

（I）求
的单调递增区间；

（II）在
中角A、B、C的对边分别是
满足
恰是
的最大值，试判断
的形状.

17. （本小题满分12分）

某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，.经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为
，第二道工序检查合格的概率为
，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器.

（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；

（II）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为
，求
的分布列和每月的盈利期望.

18. （本小题满分12分）

设数列
的前n项和为
.

（I）求数列
的通项公式
；

（II）是否存在正整数n，使得
？若存在，求出n值；若不存在，说明理由.

19. （本小题满分12分）

四棱锥
平面ABCD，2AD=BC=2a
，

（I）若
Q为PB的中点，求证：
；

（II）若
，求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小.

（若非特殊角，求出所成角余弦即可）

20. （本小题满分13分）

已知
两点分别在x轴和y轴上运动，且
，若动点
满足
.

（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；

（II）一条纵截距为2的直线
与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；

（III）直线
与曲线C交于A、B两点，
，试问：当t变化时，是否存在一直线
，使
的面积为
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由

21. （本小题满分14分）已知函数
（a为实常数）.

（I）若
的单调区间；

（II）若
，求函数
在
上的最小值及相应的x值；

（III）设b=0，若存在
，使得
成立，求实数a的取值范围.

第一学期学分认定考试

高三数学（理）试题参考答案及评分标准

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．

1-5 CADBB 6-10 CDDAC

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)因为

………………………3分

的对称轴离最近的对称中心的距离为

所以
，所以
，所以

………………………………5分

解

得：

所以函数
单调增区间为
……………………6分

(Ⅱ) 因为
，由正弦定理，

得

因为

，所以

所以

，所以
……………………9分

所以

根据正弦函数的图象可以看出，
无最小值,有最大值
，

此时
，即
,所以

所以
为等边三角形…………………………12分

17．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为
,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为

…………………………………2分

所以
…………………5分

(Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为
四种

所以赢利额
的数额可以为
……………………7分

当
时,

当
时,

当
时,

当
时,
………………………………10分

每月的盈利期望

所以每月的盈利期望值为
万元……………12分

18．（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)

所以
时,

两式相减得:

即

也即
,所以
为公差为
的等差数列

所以
…………………………………6分

(Ⅱ)

所以

所以

所以

所以

即当
时,
………………………12分

19．（本小题满分12分）

证明 (Ⅰ) 连结
,
中,
由余弦定理:

,

解得

所以
为直角三角形，

因为
，所以

又因为
平面

所以
，因为

所以
平面

平面

所以，平面
平面

又因为
，
为
中点

所以

因为平面
平面

所以
平面

平面

所以
…………………………………6分

(Ⅱ)

可得

取
中点

可证得
为矩形

以
为坐标原点分别以
所在直线为
轴，

建立
空间直角坐标系,

平面

所以面
是平面
的法向量,

设平面
的法向量为

所以

,令

可得

解得:

所以

所以平面
与平面
所成二面角为
…………………………12分

解法2本题也可以采用作出两平面的交线,再作出二面角平面角的方法.

评分标准,作角证角4分,求角2分.

20．（本小题满分13分）

解: (Ⅰ) 因为

即

所以

所以

又因为
,所以

即:
,即

所以椭圆的标准方程为
…………………………4分

(Ⅱ) 直线
斜率必存在，且纵截距为
,设直线为

联立直线
和椭圆方程

得:

由
,得

设

则
(1)

以
直径的