庐江县六校联盟2016届高三第四次考试

数学（理）试卷

考试时间：120分钟；总分150分

一、单项选择（共计60分）



1、复数
（
为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B等于（　　）

A．{﹣2，2} B．{﹣2，0，2} C．{﹣2，0} D．{0}

3、下列命题中，假命题的是（ ）

A．
B．

C．
D．

4、设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（　　）

A．f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）=f（﹣x2）

C．f（﹣x1）＜f（﹣x2） D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定

5、设函数
，其图象在点
处的切线
与直线
垂直，则直线
与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、已知函数

的部分图象如图所示，
是边长为
的等边三角形，为了得到
的图象，只需将
的图象（ ）

A．向左平移
个长度单位

B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位

D．向右平移
个长度单位

7、对于向量
、
、
和实数λ，下列命题中真命题是（ ）

A．若λ
＝
，则λ＝0或
＝

B．若
·
＝0，则
＝
或
＝

C．若
2＝
2，则
＝
或
＝－

D．若
·
＝
·
，则
＝

8、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c2＝（a－b）2＋6，C＝
，则△ABC的面积是（ ）

A．3 B．
C．
D．3

9、平面几何中，有边长为
的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
，类比上述命题，棱长为
的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

10、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A．
﹣
＞0 B．
﹣
＜0 C．
＞
D．
＜

11、已知{an}是递增数列，对于任意的正整数n均有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是( )

A．[﹣2，+∞） B．（﹣3，+∞） C．R D．

12、已知函数
，若
，使
成立，则称
为函数
的一个“生成点”.函数
的“生成点”共有（ ）

A．
个 B .
个 C .
个 D .
个

二、填空题（共计20分）



13、已知函数
的定义域为R，则实数a的取值范围为 ．

14、设
，若
则
．

15、已知
为坐标原点，点
的坐标为
，点
的坐标
、
满足不等式组
，则
的取值范围是 ．

16、对于各项均为整数的数列
，如果
(
=1，2，3，…)为完全平方数，则称数

列
具有“
性质”．不论数列
是否具有“
性质”，如果存在与
不是同一数列的
，且
同时满足下面两个条件：①
是
的一个排列；②数列
具有“
性质”，则称数列
具有“变换
性质”．下面三个数列：①数列
的前
项和
；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“
性质”的为 ；具有“变换
性质”的为 .

三、解答题（共计70分，要有必要过程）



17、已知集合
，集合
，集合
．命题
，命题

（1）若命题
为假命题，求实数
的取值范围；

（2）若命题
为真命题，求实数
的取值范围．

18、已知
,设
.

(1)求函数
的单调增区间;

(2)三角形
的三个角
所对边分别是
,且满足
,求边
.

19、已知数列
和
满足
，若
为等比数列，且
，
．

（1）求
与
；

（2）设
（
），记数列
的前
项和为
，求
；

20、已知函数
．

（1）求函数
的极值；

（2）求函数
的值域．

21、在锐角
中，角
的对边分别为
，已知
．

（1）若
，求
；

（2）求
的取值范围．

22、设函数f（x）=lnx﹣ax+
﹣1.

（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（2）当a=
时，求函数f（x）的单调区间；

（3）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣
，若对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．

庐江县六校联盟2016届高三第四次考试

数学（理）参考答案

一、单项选择

1、【答案】A

【解析】
，

复数
（
为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是

故选A．

考点：复数的运算及几何意义．

2、【答案】B

【解析】试题分析：根据集合B的元素关系确定集合B即可．

试题解析：解：∵A={﹣1，1}，x∈A，y∈A，

∴x=﹣1，或x=1，y=﹣1或y=1，

则m=x+y=0，﹣2，2，

即B={﹣2，0，2}．

故选：B．

考点：集合的表示法．

点评：本题主要考查集合的表示，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．

3、【答案】D

【解析】由
，即
，此时
，则A命题为真命题；当
时，令
，则
，所以函数
在区间
为增函数，即
，则B命题为真命题；当
时，
，即C命题为真命题；当
时，
，所以D命题为假命题.

4、【答案】A

【解析】试题分析：先利用偶函数图象的对称性得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函数；然后再利用x1＜0且x1+x2＞0把自变量都转化到区间（﹣∞，0）上即可求出答案．

试题解析：解：f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数

故 在（﹣∞，0）上是增函数

因为x1＜0且x1+x2＞0，故0＞x1＞﹣x2；

所以有f（x1）＞f（﹣x2）．

又因为f（﹣x1）=f（x1），

所以有f（﹣x1）＞F（﹣x2）．

故选 A．

考点：奇偶性与单调性的综合．

点评：本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．

5、【答案】B

【解析】 对原函数求导得
，当
时在点
处的切线
的斜率
，且
与直线
垂直，所以
解得
，所以
解得
，所以
，切点为
，所以直线
的方程为：
即
，与两坐标轴的交点分别为
，所求三角形的面积为
，答案为B．

考点：1.曲线的切线方程；2.两条直线互相垂直；3.三角形的面积公式．

6、【答案】A

【解析】试题分析：依题意可知，
，
，所以
，
，由于
，所以为了得到
的图象，只需将
的图象向左平移
个长度单位，选
．

考点：1.
；2.三角函数图象变换．

7、【答案】A

【解析】若λ
＝
，则λ＝0或
＝
，所以A正确；若
·
＝0，则
＝
或
＝
或
，故B不正确；若
2＝
2，则
，并不能说明两向量共线，故C不正确；若
·
＝
·
，则
＝
或
＝
，故D不正确，所以A是正确选项．

考点：1、向量的数乘及数量积；2、命题真假的判定．

【易错点晴】本题主要考查的是向量的基本运算、向量共线的基本定理，属于中档题；对向量数量积的考查一直是向量问题里面的常考点，也是易错点，很多同学都选错；特别是D选项，更是易错选项，解决此类问题时一定要审清题，熟练掌握向量的概念与基本运算．

8、【答案】B

【解析】将c2＝（a－b）2＋6化为
，由余弦定理及C＝
，得
，解得
；由三角形的面积公式，得△ABC的面积
；故选B．

考点：1.余弦定理；2.三角形的面积公式．

9、【答案】B

【解析】

10、【答案】D

【解析】∵c＜d＜0，

∴﹣c＞﹣d＞0，

∵a＞b＞0，

∴﹣ac＞﹣bd，

∴

，

∴
．

故选：D．

11、【答案】B

【解析】试题分析：{an}是递增数列，对于任意的正整数n均有an=n2+λn恒成立，可得an+1＞an，解出即可．

试题解析：解：∵{an}是递增数列，对于任意的正整数n均有an=n2+λn恒成立，

∴an+1＞an，

∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，

化为λ＞﹣（2n+1），

∴λ＞﹣3.

则实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）．

故选：B．

考点：数列的函数特性．

点评：本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12、【答案】A

【解析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由x0，n∈N*，得
或
，解得
或
，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．

二、填空题

13、【答案】

【解析】
时，
，符合题意，当
时，
，得
，综上有
．

考点：函数的定义域．

【名师点晴】本题表面上考查函数的定义域，实质是考查不等式恒成立问题，即
恒成立，这里易错的地方是只是利用判别式
，求得
，没有讨论二次项系数为0的情形．

14、【答案】

【解析】
，
，

，

．

考点：三角函数化简求值；倍角、半角公式；角的变换；两角和与差的三角函数

15、【答案】[1，6]

【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出
，利用z的几何意义求最值即可．

N（x，y）的坐标x，y满足不等式组
表示的可行域如图：

目标函数为

由向量的数量积的几何意义可知，

当N在（3，0）时，
取得最大值是（3，0）·（2，1）=6，

在（0，1）时，
取得最小值为（2，1）·（0，1）=1，

所以的取值范围是[1，6]，

所以答案应填：[1，6]．

考点：1、简单线性规划；2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题．文科考查线性规划问题都考查的比较浅，难度不大这与理科有所区别，本题就具备这个特点，只是目标函数稍加变动．解线性规划问题的一般步骤：一是作出可行域；二是作出目标函数对应的过原点的直线
；三是平移
到经过平面区域时目标函数的最值．

16、【答案】①；②

三、解答题

17、解：

,
,

（Ⅰ）由命题
是假命题，可得
，即得
．

（Ⅱ）

为真命题，

都为真命题，

即
且

有
，解得
．

考点：解一元二次不等式，函数值域，集合包含关系

18、【答案】(1)

=

=
=
=

=
=

由
递增得:
即

∴
的递增区间是

(2)由
及
得
,

设
,则

所以
.

19、解析：（1）由题意，可知

，

所以可得
，

又由
，得公比
（
舍去）

所以数列
的通项公式为

，

所以
，

故数列
的通项公式为

（2）（I）由（1）知，

，

所以

．

考点：1.等差、等比数列的定义及性质；2.等差、等比数列的求和公式；3.裂项相消法求和；4.数列与不等式．

20、解析：（Ⅰ）因为
,

所以

因为
，所以当
时，
；当
时，
．

即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

故当
时，函数
有极小值0，无极大值．

（Ⅱ）

令
,当
时,
,所以
在
上单调递增，

所以
，
，

图象的对称轴
．
在
上单减，在
上单增．

，又
，则
．

所以所求函数的值域为
．

考点：函数的极值，函数的值域．

21、解析：（1）由
，得
．

为锐角三角形，
，又
，两式相减，得
．

由余弦定理
，得
，即
，

解得
或
；

当
时，
，
，即
为钝角（舍），

故
．

（2）由（1）得
，所以
；

．

为锐角三角形，
，
．

，
，

故
的取值范围是
．

考点：1.诱导公式；2.正弦定理和余弦定理；3.三角函数的图象与性质．

【解析】

22、解析：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，
，

∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2

（Ⅱ）
=

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2

故当
时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．

（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=

若对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值
（*）

又
，x∈[0，1]

①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，
与（*）矛盾

②当0≤b≤1时，
，由
及0≤b≤1得，

③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，
，

此时b＞1

综上，b的取值范围是

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于？x1∈[1，2]，？x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．

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