六安一中2016届高三年级第五次月考

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则P的值为（ ）

A．4 B．1 C．2 D．8

2.与椭圆
共焦点且过点
的双曲线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.设入射光线沿直线
射向直线
，则被
反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.双曲线
左支上一点
到
的距离为
，则
（ ）

A．2 B．-2 C．4 D．-4

C．必在圆
外 D．以上三种情形都有可能

6.已知圆M方程：
，圆N的圆心
，若圆M与圆N交于A，B两点，且
，则圆N的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．
或

7.已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．2 C．
D．

8.已知椭圆
上有一点P，
是椭圆的左右焦点，若
为直角三角形，则这样的点P有（ ）个

A．3 B．4 C．6 D．8

9.已知椭圆
上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，设抛物线
的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则
与
的面积之比是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知
是椭圆
的左右焦点，P是椭圆
上任意一点，过
作
的外角平分线PQ的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（ ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

12.双曲线
的两焦点为
，P在双曲线上，且满足
，则
的面积为（ ）

A．1 B．
C．2 D．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.双曲线
渐近线的方程是 .

14.椭圆E：
的左、右焦点分别为
，焦距为
，若
与椭圆E的一个交点M满足
，则该椭圆的离心率等于 .

15.直线
与抛物线
和圆
，从左到右的交点依次为A、B、C、D，则
线段的比值为 .

16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A，B为两个定点，k为非零常数，
，则动点P的轨迹为双曲线；

②设圆C：
，过原点O作圆的任意弦OA，则弦OA中点P的轨迹为椭圆；

③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线
与椭圆
有相同的焦点.

其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

已知圆M过
，
两点，且圆心M在
上.

（1）求圆M的方程；

（2）设点P是直线
上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.

18. （本小题满分12分）

已知点M到点
的距离比到点M到直线
的距离小4.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）若曲线C上存在两点A，B关于直线
对称，求直线AB的方程.

19. （本小题满分12分）

已知直线
，双曲线
.

（1）若直线
与双曲线E的其中一条渐近线平行，求双曲线E的离心率；

（2）若直线
过双曲线的右焦点
，与双曲线交于P、Q两点，且
，求双曲线方程.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C：
经过点
，离心率
.

（1）求椭圆C的方程；

（2）不过原点的直线
与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：
上，求直线
的斜率k的取值范围.

21. （本小题满分12分）

平面内动点
与两定点
连线的斜率之积等于
，若点P的轨迹为曲线E，过点
直线
交曲线E于M，N两点.

（1）求曲线E的方程，并证明：
为
；

（2）若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值.

22. （本小题满分12分）

已知抛物线C：
，点
在x轴的正半轴上，过点M的直线
与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点.

（1）若
，且直线
的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（2）是否存在定点M，使得不论直线
绕点M如何转动，
恒为定值？

参考答案

1-5：ABDBA 6-10：DBCCA 11-12：BA

13.
14.
15.
16.③④

17.（1）设圆M的方程为：
，根据题意得：
，

解得：
，故所求圆M的方程为：
.

（2）由题知，四边形PAMB的面积为
，

又
，
，

最小，所以
，

所以四边形PAMB面积的最小值为
.

18.（1）结合图形知，点M不可能在y轴的左侧，即M到点
的距离等于M到直线
的距离，

∴M的轨迹是抛物线，
为焦点，
为准线，∴M的轨迹方程是：
.

（2）设
，则
，
，相减得：
，

又
的斜率为-4，则
，∴
，

∴AB中点的坐标为
，
：
，即
，

经检验，此时，
与抛物线有两个不同的交点，满足题意.

19.（1）因为双曲线的渐近线

，又因为
，所以
，

∴
.

（2）
，直线
，

，
，所以
，

因为
，所以
，整理得：
，

因为
，所以
，
，所以
，

所以双曲线C：
.

20.（1）因为椭圆C：
经过点
，所以
，

又离心率
，即可求出
，所以椭圆C：
.

（2）设直线
，
，
，

由
，得
.

，

即
…………①

又
，故
，

将
代入
得

，
…………②

将②代入①得：

解得
，且
，即
.

21.（1）设动点P坐标为
，当
时，由条件得：

，化简得
（
）

曲线E的方程为：
（
）.

（说明：不写
的扣1分）

由题可设直线MN的方程为
，联立方程组可得

，化简得：

设
，则
，
，

又
，则

，

所以
，所以
的大小为定值.

（2）

，

令
，
，∴
，

∴
，设
，∴
，

∵
，∴
，∴
在
上单调递减，∴
，

由
，得
，此时S有最大值16.

22.（1）当
时，
，此时，点M为抛物线C的焦点，

直线
的方程为
，设
，联立
，

消去y得，
，∴
，
，∴圆心坐标为
.

又
，∴圆的半径为4，∴圆的方程为
.

（2）由题意可设直线
的方程为
，则直线
的方程与抛物线C：
联立，

消去x得：
，则
，
，

对任意
恒为定值，

于是
，此时
.

∴存在定点
，满足题意.

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