庐江县六校联盟2016届高三第四次考试

数学（文）试卷

考试时间：120分钟；总分150分

评卷人

得分











一、单项选择（12*5=60）





1、已知
，其中
为虚数单位，则
（ ）

A．
B．1 C．2 D．3

2、若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为
，则m的取值范围是（ ）

A．（0，4] B．
C．
D．

3、函数
的最小值为（ ）

A．
B．0 C．
D．1

4、若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于y轴对称，则
的最小正值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5、在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则
在
方向上的投影为( )

A．
B．
C．1 D．2

6、
为等差数列
的前
项和，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，Sn取得最小值时n的值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

8、已知数列
的前n项和
，则
（ ）

A．－29 B．29 C．30 D．－30

9、数列
满足
,
，则此数列的第5项是（ ）

A．15 B．255 C．20 D．8

10、若
，
满足约束条件
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11、已知
，则
的最小值是（ ）

A．
B．4 C．
D．5

12、已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是（ ）

A 6 ：5 B 5 ：4 C 4 ：3 D 3 ：2

评卷人

得分











二、填空题（4*5=20）





13、已知函数
，则
=____________

14、数列
中，
=2，
，则
= ．

15、已知不等式kx2+2kx-（k+2）<0恒成立，则实数k的取值范围 ．

16、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．

评卷人

得分











三、解答题（10+12*5=70）





17、已知向量
,
,
,设函数
. (Ⅰ) 求
的最小正周期；(Ⅱ) 求
在
上的最大值和最小值.

18、一个圆锥的底面半径为
，高为
，其中有一个高为
的内接圆柱：



（1）求圆锥的侧面积；

（2）当
为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值.

19、已知函数f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，0）处的切线的斜率为2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在[
，e]上的单调区间和最值．

20、已知
、
、
分别为
的三边
、
、
所对的角，向量
，
，且
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，
，
成等差数列，且
，求边
的长．

21、等差数列{an}满足:a1=1，a2+a6=14；正项等比数列{bn}满足:b1=2，b3=8.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn．

22、某工厂生产某种产品，每日的成本
（单位：万元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式
，每日的销售
（单位：万元）与日产量的函数关系式为
，已知每日的利润
，且当
时，
．

（1）求
的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求此最大值．

庐江县六校联盟2016届高三第四次考试

数学（文）参考答案

一、单项选择

1、【答案】B

【解析】由题

考点：复数的运算，复数相等

2、【答案】C

【解析】二次函数对称轴为
，所以定义域[0，m]包含
，所以
，
，结合二次函数对称性可知
，所以m的取值范围是
，故选C

考点：二次函数单调性与最值

3、【答案】A

【解析】由题根据所给函数利用二次函数性质分析计算即可．

时，所给函数取得最小值
，故选A．

考点：三角函数的最值

4、【答案】C

【解析】因为
，所以将
向右平移
个单位得到
，其图像关于y轴对称，所以
的最小正值是
．

考点：三角函数图像的特点．

5、【答案】C

【解析】试题分析：根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为
公式计算．

试题解析：解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，

∴∠B=60°，

∴△ABC为正三角形，

∴
？
=2×2cos60°=2

∴
在
方向上的投影为
=
=1，

故选：C

考点：平面向量数量积的含义与物理意义．

点评：本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题．

6、【答案】B

【解析】因为
为等差数列
的前
项和，所以
；

故选B．

考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n项和．

7、【答案】A

【解析】试题分析：解法一：求出{an}的通项公式an，在an≤0时，前n项和Sn取得最小值，可以求出此时的n；

解法二：求出{an}的前n项和Sn的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值．

试题解析：解：解法一：在等差数列{an}中，设公差为d，

∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，

∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4；

∴d=2，

∴an=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，

由2n﹣13≤0，得n≤
，

∴当n=6时，Sn取得最小值；

解法二：在等差数列{an}中，设公差为d，

∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，

∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4，

∴d=2，

∴前n项和Sn=na1+
=﹣11n+
=n2﹣12n，

∴当n=6时，Sn取得最小值；

故选：A．

考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题，是基础题．

8、【答案】B

【解析】∵
，

∴
．

考点：并项法求和．

9、【答案】B

【解析】∵
，∴
，∴
，∴数列
是以1为首项、以4为公比的等比数列，∴
，∴
，∴
．

考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式．

10、【答案】A

【解析】作出不等式组
所表示的平面区域，如下图：

由图可知当直线经过点C（0，3）时
，

故选A．

考点：线性规划．

11、【答案】C

【解析】由
，得

当且仅当
时，取得最小值．故选C．

考点：均值不等式求最值．

【方法点睛】本题是利用均值不等式求最值．均值不等式求最值首先要求掌握均值不等式求最值的使用条件：一正二定三相等，即一
，二
或者
，三a与b会相等；然后就是灵活的创造使用均值不等式的条件．例如，本题对于已知条件中
的应用，对函数y进行巧妙的变形，从而创造出均值不等式的使用条件，最后求解．

12、【答案】D

【解析】试题分析：不妨设圆柱的高为h,圆柱上下底面圆面半径为
球的半径也为
故

所以所求比值为

故选D．

考点：1、圆柱体的表面积公式；2、球体的表面积公式．

二、填空题

13、【答案】0

【解析】

14、【答案】4

【解析】

考点：累和法求通项公式

15、【答案】

【解析】试题分析：当
时，
恒成立；当
时，要使不等式恒成立，需有
,解得，
,故
．

考点：由二次函数恒成立问题求参数范围．

【方法点睛】若二次函数


恒成立问题，常常利用判别式考虑即
（或
）,若二次函数
恒成立问题，则
（或
）,然后求出不等式的解集即可．同时注意，当函数


恒成立问题，除了上述情况外应注意二次项系数等于零的特殊情况，而函数
恒成立问题，同理即可求解．

16、【答案】3

【解析】由三视图知，该几何体是一个底面是直角梯形的直四棱柱，且梯形的上底长为1，下底长为2，高为2，棱柱的高为1，因此该几何体的体积
．

考点：？三视图的应用；？柱的体积．

三、解答题

17、【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）最小值
，最大值

【解析】（Ⅰ）
=


. 所以
的周期
. …………7分（Ⅱ）解:当
时，

，由
在
上的图象可知

当
，即
时，
取最小值
，

当
，即
时，
取最大值
.…………13分

18、【答案】（1）
（2）
时，圆柱的侧面积最大，最大为
cm2

试题分析：（1）本题考察的是求圆锥的侧面积，只需求出圆锥的母线长，然后根据公式即可求出所求的答案．

（2）根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，表示出圆锥的侧面积，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．

试题解析：（1）圆锥的母线长

∴圆锥侧面积
cm2；(此处答案有误，应为原值的一半)

（2）设内接圆柱的底面半径为，由图形特征知，

∴

圆柱侧面积


（
）∴
，即
时，圆柱的侧面积最大，最大为
cm2.

考点：棱锥、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【解析】

19、【答案】试题分析：（1）求出原函数的导函数，利用f（1）=0，f′（1）=2联立方程组求得a，b的值；

（2）求出原函数的导函数，得到函数在[
，e]上的单调区间，求出极值与端点处的函数值，则答案可求．

试题解析：解：（1）由f（x）=ax3+bx2lnx，得f′（x）=3ax2+2bxlnx+bx，

∴
，解得a=0，b=2.

∴f（x）=2x2lnx

（2）f′（x）=4xlnx+2x，

由f′（x）=0，得
，

当x∈
时，f′（x）＜0，当x∈
时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递减区间为
，单调递增区间为
；

∵
，f（e）=2e2，
．

∴f（x）在[
，e]上的最大值为2e2，最小值为
．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

点评：本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，属中档题．

【解析】

20、【答案】（1）
；（2）6

试题分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得
，再由已知
可得
从而求得C的值；（2）由
，
，
成等差数列，得
，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长．

试题解析：（1）
,

，

；

（2）由
成等差数列，得
，由正弦定理得
．

，

由余弦弦定理
，

．

考点：等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【解析】

21、【答案】（1）
；（2）
．

试题分析：（1）根据已知
可求得公差
，从而可得
．根据
可得公比
，从而可得
．（2）根据
的通项公式分析可知应用错位相减法求数列的和．

试题解析：（1）∵

又∵

因此数列
，
的通项公式
．

（2）由（1）有

两式相减，得

．

考点：1等差数列，等比数列的通项公式；2错位相减法求和．

试题分析：

【解析】

22、【答案】（1）
；（2）当日产量为
吨时，每日的利润可以达到最大值
万元．

试题分析：（1）由题意先列出每日的利润
关于
的函数的解析式，
时，
，代入解析式即可求出
的值；（2）当
时，利用基本不等式计算每日利润的的最大值，当
时，
，由此可求出每日利润和最大值．

试题解析：（1）由题意得，

因为
时，
，所以

所以

（2）当
时，

当且仅当
，即
时取等号．

当
时，
，

所以当
时，
取得最大值
，

所以当日产量为
吨时，每日的利润可以达到最大值
万元

考点：1.函数建模问题；2.基本不等式．

【解析】

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/