双鸭山市第一中学高三上学期12月月考试题 数学（文）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1.设是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为

A．
B．
C．
D．

2.设集合
，集合
，则集合
中元素的个数是

A．
B．
C．
D．

3.
为平行四边形
的一条对角线，
，
，则

A．
B．
C．
D．

4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率为

A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45

5．已知命题
，且
，命题
，则下列判断正确的是

A．
是假命题 B．
是真命题 C．
是真命题 D．
是真命题

6.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；

②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是

A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确

7．已知数列
的通项公式是
，则其前20项和为

A．
B．
C．
D．

8．函数
的部分图象如图所示，则将
的图象向右平移
个单位后，得到的图象的解析式为

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，则
的值是

A．4 B．12 C．36 D．108

10.某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，…，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A，男生平均分：M，女生平均分：W.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入

A．
B．

C．
D．

11.已知F1，F2分别是椭圆
的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若
为一个切点，则

A．
B．

C．
D．与
的大小关系不确定

12．定义域为
的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
.若函数
在
上至少有三个零点，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．若曲线
在点

处的切线经过坐标原点，则
________.

14．已知一个三棱锥的三视图如图所示

其中俯视图是等腰直角三角形，则该三

棱锥的外接球体积为________．

15.直线
和
是圆
的两条切线，若
与
的交点为
，则
与
的夹角的正切值等于________．

16.在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
且
，
，
.若
，则
的取值范围是________．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本题满分12分)

为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如上表格：

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日



温差x/℃

10

11

13

12

8



发芽数y/颗

23

25

30

26

16





(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；

(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

(参考公式：＝，＝－ )

18.(本题满分12分)

已知数列
的前n项和为
，且
．

求数列
的通项公式；(2)设
，Tn＝＋＋…＋，求证：
.

19.(本题满分12分)

如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.

(1)证明：AF∥平面BDG；

(2)证明：平面BGM⊥平面BFC；

(3)求三棱锥F-BMC的体积V.

20.(本题满分12分)

已知抛物线
，
为坐标原点，
为抛物线的焦点，直线
与抛物线
相交于不同的两点
，
，且
.

(1)求抛物线
的方程.

(2)若直线过点
交抛物线于不同的两点
，
，交
轴于点
，且
，
，对任意的直线,
是否为定值?若是，求出
的值；否则,说明理由.

21.(本题满分12分)

设函数
.

(1)当
(
为自然对数的底数)时，求
的极小值；

(2)讨论函数
零点的个数；

(3)若对任意
，
恒成立，求m的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系
的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为
．

(1)求C的直角坐标方程；

(2)直线l：
(为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|＋|EB|.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设
.

(1)求不等式
的解集
；

(2)若关于x的不等式
有解，求参数的取值范围．

高三文科月考数学答案

选择题

DCBDCD BDCDAA

填空题

13．
14.

15.
16.

三、解答题

17.（本题满分12分)

解：(1)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个． 2分

设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个．5分

故由古典概型公式得P(A)＝. 6分

(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27，3 ＝972，3 2＝432，xiyi＝977，x＝434， 8分

所以＝＝，

＝27－×12＝－3， 9分

所以y关于x的线性回归方程为

＝x－3. 10分

(3)依题意得，

当x＝10时，＝22，|22－23|＜2；

当x＝8时，＝17，|17－16|＜2，

所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的． 12分

18.（本题满分12分)

解：(1)当n＝1时，2S1＋3＝3a1，∴a1＝3. 1分

当n≥2时，2Sn＋3＝3an，2Sn－1＋3＝3an－1，

∴2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1， 3分

∴an＝3an－1(n≥2)．

∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列 5分

∴数列{an}的通项公式为an＝3n. 6分

(2)证明：由(1)得＝＝n， 7分

∴Tn＝＋＋…＋

＝＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，① 8分

∴Tn＝＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，② 9分

由①－②得

Tn＝＋＋＋…＋－n×

＝－n×

＝－n×， 11分

∴Tn＝－<. 12分

19.（本题满分12分)

解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，∵点G为CF的中点，∴OG为△AFC的中位线，

∴OG∥AF. 2分

∵AF?平面BDG，OG?平面BDG，

∴AF∥平面BDG. 4分

(2)证明：如图，连接FM，

∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，

∴BG⊥CF.

∵CM＝2，∴DM＝4.

∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，

∴EF∥DM.又EF＝4，

∴四边形EFMD为平行四边形，

∴FM＝DE＝2，∴△FCM为正三角形，

∴MG⊥CF. 6分

∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM.

∵CF?平面BFC，

∴平面BGM⊥平面BFC. 8分

(3)VFBMC＝VFBMG＋VCBMG＝S△BMG·FC＝S△BMG×2，

由(2)易得GM＝BG＝，BM＝2，

∴S△BMG＝×2×1＝，

∴VFBMC＝S△BMG＝. 12分

20.（本题满分12分)

【解析】(1)联立方程
得x2-2px=0,

故O(0,0),N(2p,2p), 2分

所以|ON|=
4分

由2
p=4
,得p=2,

所以抛物线C的方程为x2=4y. 6分

(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为
7分

设点A(x1,y1),点B(x2,y2),

由
得x2-4kx-4=0,

所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0,

所以x1+x2=4k,x1·x2=-4. 8分

由
=a