遵义航天高级中学高三第四次模拟考试数学（理科）试题

一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.复数
（其中
）对应点在 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.下列函数中，既是偶函数又在区间
上是增函数的是 （ ）

A.
B.

C.
D.

4．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是(　　)．

A．－1 B. C. D．4

5．
的展开式中，常数项为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6.
的内角
所对的边分别为
，且
成等差数列。

命题p: “
成等比数列”；命题q:“
是等边三角形”。则p是q的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知
是不同的直线，
是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）

A．若
∥
，
∥
则
∥
B.若
∥
，则
∥

C.若
，则
∥
D.若
∥
，则

8.设非负实数
满足：
，（2,1）是目标函数
（
取最大值的最优解，则
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.
[:]

9.过点
作直线
与圆O：
交于A、B两点，O为坐标原点，设
且
，当
的面积为
时，直线
的斜率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10、函数
（
）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点
分别为该部分图象的最高点与最低点，且
，则函数
图象的一条对称轴的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.如图,正方形ABCD的顶点

顶点C,D位于第一象限,直线
(0≤t≤
)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线
左侧阴影部分的面积为
,则函数
的图象大致是(　　)

12.已知函数
，
，则函数
的零点个数为（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）.

13.有5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有 种摆放方法（用数字作答）

14.椭圆
（
）与双曲线
（
）有相同焦点，它们的公共点在
轴上的射影为其中一个焦点，若它们的离心率分别为
则

15. 设
为
的外心，且
，则
的内角
=

16.给定如下命题：

①若命题
，则

②若变量
线性相关，其回归方程为
，则
正相关

③在
中，
，则
是锐角三角形

④将长为8的铁丝围成一个矩形框，则该矩形面积大于3的概率为

⑤已知
，且
，则

其中正确命题是 （只填序号）

三、解答题（本大题共6道小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（满分12分）数列
，
中，
，
，
（
），且数列
是等差数列。

（1）求
的前
项
（2）设数列
的前
项和为
，求使
最小的
的值。

18.（满分12分）一企业由于生产某种产品的需要欲购进某种设备若干台，该设备运行台数只与月产量有关，根据调查统计，该设备运行1台的概率为
；运行2台的概率为
；运行3台的概率为
，且每月产量相互没有影响。

（1）求未来3个月中，至多有1个月运行3台设备的概率

（2）若某台设备运行，则当月为企业创造利润12万元，否则亏损6万元，欲使企业月总利润的均值最大，购该种设备几台为宜？

19.（满分12分如图，四棱锥
的底面是边长为2的菱形，
,
是等边三角形，且
，M是棱
上除P、C外的任意一点，且

（1）当
时，求证：平面
平面
[:]

（2）设二面角
的大小为
，当
时，求
的取值范围。

20.（满分12分）已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为P，过P任作一条直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点。

（1）求
的值

（2）设
（
是抛物线内任意一点，过
作
轴的平行线交抛物线于C点，抛物线在C点处的切线为
，
关于
的对称点为
，证明：直线
过定点。

21．（满分12分）已知函数
　

（1）讨论
的单调性

（2）若
恒成立，求实数
的最大值．

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号对应标记。

22.（满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

23.（满分10分）圆C的极坐标方程为
，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线
的参数方程为
（
为参数）。

（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标

（2）
与C交于A，B两点，求

24.（满分10分）已知函数
，不等式
的解集为
。

（1）求
的值

（2）若不等式
的解集是空集，求实数
的取值范围。

四模理科数学答案

一、BDCDD CDCBA CB

二、13. 16 14. 1 15.
16. ③④⑤

三、17. （1）由
得：
，∵
是等差数列 ∴
是常数C， 又
，∴
∴

即
∴

（2）
，且
，∴
，∴

当
时，
且
，∴使
最小的
的值为8或9

18.（1）所求概率事件包含有且仅有一个月运行3台设备和三个月都没有运行3台设备两个互斥事件，运行三台设备的概率为
，未能运行三台设备的概率为

∴

（2）由题意：该企业最多购三台设备，当购1台设备时，月利润为12万元。

当购2台设备时，设月利润为X（万元），X的分布列为：

X

6

24



 P








（万元）

当购3台设备时，设月利润为
（万元），
的分布列为：

0

18

24



P










（万元） ∴购该种设备2台为宜.

19. （1）设AD中点为O，连结PO、BO、连BD与OC交于Q点，则
，且

由已知，
为等边三角形，∴
，在
中，

∴
，∴
，

连结MQ，
∽
，
，当
时，
∴PO//MQ，

∴
又
，∴平面
平面

（2）由（1）所证，以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。

则
、
、
、

设
，∵
，∴

设平面BDM的法向量为
=
，由
得
取
得

平面BDA的法向量
，根据题意：
，即

∴

由（1）可知
，∴解得

20.（1）∵直线AB过点
∴设直线AB的方程为：
，
、

由
得
，则
，

∴

（2）C点坐标为
，抛物线
在第一象限的方程可化为函数

, ∴直线
的斜率为
，直线
的方程为：

延长MC与抛物线的准线交于点

根据抛物线定义：
，且线段
的垂直平分线方程为
与直线
重合，∴
关于直线
的对称点Q在直线MC上，∴M关于直线
的对称点N在直线CF上

∴直线
过定点

21．（1）

①当
时，
，∴
在
上单调递减

②当
，由
解得
，∴
的单调递增区间为

单调递减区间是
和

③当
时，同理可得
的单调递增区间为
，单调递减区间是
和

终上所述：

（2））
恒成立，

恒成立，

即
恒成立，

令
，

在
上递增，
上递减，

，

，

令
，
，
在
上递增，在
上递减，
，