长泰一中2016届高三上学期期中考试

数学（理）试题

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 函数
的定义域是( )

A.
B.
C.
D.

2．设全集
等于

A.
B.
C.
D.

3. 若函数
存在零点，则实数
的取值范围是( )

A．
B.
C．
D.

4．在等差数列
中，已知
，则
( )

A．10 B. 18 C． 20 D．28

5．下列命题中，真命题是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知函数
，则
是

　 A．奇函数 B．偶函数

　 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

7. 已知向量
，
，则a与b夹角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知数列
为递增等比数列，其前
项和为
．若
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如果复数
为纯虚数，那么实数
的值为（ ）

A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2

10．若
对任意实数t都有
，且
，则实数m的值等于( )

A.-3或1 B.-1或3 C.
D.

11．己知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
为偶函数，
，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若
互不相等，且
，则
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知
，
，则
．

14. 图中阴影部分的面积等于 ．

15．已知等差数列
中,
,
,则
.

16.设
是定义在R上的偶函数，且对于
恒有
，已知当
时，
则（1）
的周期是2； （2）
在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；

（3）
的最大值是1，最小值是0； （4）当
时，

其中正确的命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）

17.（本小题满分12分）已知向量
，

，设函数
．

（1）求函数
的单调增区间；

（2）已知锐角
的三个内角分别为
若
，
，边
，求边
．

18．（本小题满分12分）

已知集合
，
，
,
.

（Ⅰ）求
； （Ⅱ）若
，求
的取值范围．

19. （本小题满分12分）

在
中，内角
的对边分别为
且
.

(Ⅰ)求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的面积
.

20.（本小题满分12分）

已知
是公差为
的等差数列，它的前
项和为
，且
．

（Ⅰ）求公差
的值；

（Ⅱ）若
，
是数列
的前
项和，不等式
对所有的
恒成立,求正整数
的最大值.

21.（本小题满分12分）已知函数

．

(Ⅰ)讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

(Ⅱ)若函数
在
处取得极值，且对

,
恒成立，

求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
且
时，试比较
的大小．

22. 本题设有（1）、（2）两个选考题，请考生任选1题做答，满分10分，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，先将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的非负半轴重合．若曲线
的方程为
，曲线
的参数方程为

（Ⅰ） 将
的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若点
为
上的动点，
为
上的动点，求
的最小值．

（2）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝| x+3|－|x－2|.

①求不等式f(x)≥3的解集；

②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

C

D

A

B

C

A

A

B

C



二填空题：13.
14.1 15.33 16. (1)(2)(4)

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）

17.（本小题满分13分）已知向量
，

，设函数
．

（1）求函数
的单调增区间；

（2）已知锐角
的三个内角分别为
若
，
，边
，求边
．

解：（1）

．

…………………………4分 ∵

R，由
得

……… 6分

∴函数
的单调增区间为．
……………………7分

（2）∵
，即
，∵角
为锐角，得
， ……… 9分

又
，∴
，∴

∵
，由正弦定理得
……… 13分

18．解：（Ⅰ）
，
，

. …………………6分

（Ⅱ）
小根大于或等于-1，大根小于或等于4，

令
，则

[]
…………………12分

19．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：
，

所以
. …………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得
，即
，

又
，所以
，解得
或
（舍去），

所以
…………………12分

20．解：（Ⅰ）∵
，即
，

化简得：
，解得
． ………………4分

（Ⅱ）由
，

∴
=
． …………………6分

∴

=

=
≥
， ……………………8分

又∵ 不等式

对所有的
恒成立∴
≥
，

化简得：
，解得：
．∴正整数
的最大值为6．……12分

20.

解：(Ⅰ)
，当
时，
在
上恒成立，函数
在
单调递减，∴
在
上没有极值点；当
时，
得
，
得
，∴
在
上递减，在
上递增，即
在
处有极小值．∴当
时
在
上没有极值点，当
时，
在
上有一个极值点．……… 4分(Ⅱ)∵函数
在
处取得极值，∴
，∴
，令
，可得
在
上递减，在
上递增，∴
，即
．……… 9分(Ⅲ)解：令
，由(Ⅱ)可知
在
上单调递减，则
在
上单调递减∴当
时，
>
，即
．当
时，
∴
，当
时，
∴
??????????……… 14分???????????

21.（1）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的非负半轴重合．若曲线
的方程为
，曲线
的参数方程为

（Ⅰ） 将
的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若点
为
上的动点，
为
上的动点，求
的最小值．

解：（Ⅰ）由已知得
，即
………3分

（Ⅱ）由
得
，所以圆心为
，半径为1．

又圆心到直线
的距离为
,…………………5分

所以
的最大值为
．…………………………7分

2（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝| x+3|－|x－2|.

①求不等式f(x)≥3的解集；

②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范围．

解：(1) [1, +
) ……… 3分

(2) |a－4|≤5 ∴-1≤a≤9……… 7分

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