2016届闽粤联合体第三次联考

高三数学试题

命题：闽粤名校联谊试题研究中心组 审核：福建福州金山学校

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若
，且
；
关于
的一元二次方程：
的一个根大于零，另一个根小于零，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

2．下列说法正确的是（ ）

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”

B．已知
是R上的可导函数，则“
”是“
是函数
的极值点”的必要

不充分条件

C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是:“对任意x∈R,均有x2＋x＋1＜0”

D．命题“角
的终边在第一象限角，则
是锐角”的逆否命题为真命题

3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于

（A）
（B）

（C）
（D）

4．已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为

(A)
(B)

(C)
(D)

5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的
为
，则输出的
的值分别为

(A)
(B)

(C)
(D)

6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为

（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）

（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%

7. 各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，若
，则

（A）16 （B）20 （C）26 （D）30

8. 圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为

（A）
（B）

（C）
（D）

9.设函数
，且其图像关于
轴对称，则函数
的一个单调递减区间是

（
）

10．P是
所在的平面上一点，满足
，若
，则
的面积为

（A）3 （B）4 （C）6 （D）8

11． 右图可能是下列哪个函数的图象

（A）
（B）

（C）
（D）

12.若函数
满足
，且
时，
，
，则函数
在区间
内的零点的个数为

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.甲乙两人从
门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有
门不相同的选法共有___

14．已知
的展开式中常数项为
，则常数
= __________

15． 已知
为由不等式组
，所确定的平面区域上的动点，若点
，则
的最大值为___________.

16．设数列
的前n项和为
.且
，则
=_________.

三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）

17．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA．

(1)确定角C的大小；(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．

18．（本小题满分12分）

如图1在Rt
中，
，
．D、E分别是
上的点，且
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求
与平面
所成角的正弦值；

19．（本小题满分12分）

汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:

（

I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；

（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；

（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

20．（本小题满分12分）

已知
是抛物线
上一点，经过点
的直线
与抛物线
交于
两点（不同于点
），直线
分别交直线
于点
.

（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知
为原点，求证：
为定值.

21．（本小题满分12分）

设函数
.

（I）求
的单调区间；

（II）若存在实数
，使得
，求
的取值范围，并证明：
.

四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
.

（Ⅰ） 求
长； （Ⅱ）当
⊥
时，求证：
.

23．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线
参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线
上的点到直线
的最大距离.

24．选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
的解集为
，
，求证：
．

数学试题（理科）参考答案

一、选择题：ABAC CBDA CBDC

二、填空题：13、30；14、1；15、4；16、
（等价形式也给分）.

三、17．解：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2sinCsinA．-------2分

∵sinA≠0，∴sinC＝，

∵△ABC是锐角三角形，

∴C＝.--------------6分

(2)∵C＝，△ABC面积为，

∴absin＝，即ab＝6.①-------------------8分

∵c＝，

∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②------10分

由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③

将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.-------------------12分

18．（Ⅰ）证明： 在△
中，

.

又
.--------------4分

由

. …………………………6分

（Ⅱ）如图,以
为原点，建立空间直角坐标系． ……………………7分

．

设
为平面
的一个法向量，

因为

所以
，
令
，得
.

所以
为平面
的一个法向量． ……………………10分

设
与平面
所成角为
．

则
．

所以
与平面
所成角的正弦值为
． …………………12分

19．解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为

这辆汽车是A型车的概率为0.6 ………………3分

（II）设“事件
表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为
天”，

　 　“事件
表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为
天”，其中

　　　则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

　
………………5分

　　

　该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
……8分

（Ⅲ）设
为A型车出租的天数，则
的分布列为

1

2

3

4

5

6

7





0.05

0.10

0.30

0.35

0.15

0.03

0.02





设
为B型车出租的天数，则
的分布列为

1





4

5

6

7





0.14

0.20

0.20

0.16

0.15

0.10

0.05





…10分

一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的出租车更加合理 . ………………12分

20．解：（Ⅰ）将
代入
，得

所以抛物线方程为
，焦点坐标为
………………3分

（Ⅱ）设
，
，
，

设直线
方程为

与抛物线方程联立得到
，消去
，得：

则由韦达定理得：
………………5分

直线
的方程为：
，即
，

令
，得
， 同理可得：
…………8分

又
，

　　　　　　　
　

………11分

所以
，即
为定值
………………12分

21．解:（Ⅰ）
，则
--------------------1分

令
，则
-------------------------2分











+

0

—







极大值





故函数
的增区间为
；减区间为
.----------------5分

(Ⅱ)
当
时，
当
时，
----------------6分

若函数
有两个零点，只需
，即
，--------------8分

而此时，
，由此可得
，

故
，即
，---------------------------10分

又

. 12分

22．证明（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB，

∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴
，

∵OC=OD=6，AC=4，∴
，∴BD=9．…………………5分

（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．

∴∠AOD=180o–∠A–∠ODC=180o–∠COD–∠OCD=∠ADO．

∴AD=AO ……………………10分

23．解：⑴由
得

，∴

……………2分

由
得

.………………5分

⑵在
上任取一点
，则点
到直线
的距离为
. ………………7分

其中
，

∴当
1，
.………………10分

24．解：（1）当
时，不等式为
，

不等式的解集为
； ---------------- 5分

（2）
即
，解得
，而
解集是
，

，解得
,所以

所以
．----------------- 10分

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