高2016届高三第一学期期中考试

数学（理科）试题

数学（理科）试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷：选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.

1.已知集合
，
，则下列结论中正确的是

A.


B.
C.
D.

2.已知复数
（
虚数单位），若
，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

3.设
，则
是
的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.已知
，则

A．
B．
C．
D．

5.命题
，
；命题
，
； 则下列命题中真命题是

A．
B．
C．
D．

6.设公差不为
的等差数列
的前
项和为
，已知
为
和
的等比中项，且
，则

A．
B．
C．
D．

7.已知实数
满足：
，若
的最小值为
，则实数

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
的最小正周期为
，且
的图象经过点

.则函数
的图象的一条对称轴方程为

A．
B．
C．
D．

9．定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，都有

.则下列结论正确的是

A．
B．

C．
D．

10．如图，已知平行四边形ABCD，点
和
分别将线段BC和DC
等分
，

若
，则

A．
B．
C．
D．

11．若函数
在
上是单调函数，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
，若关于
的方程
恰有三个互不相等的实数

根
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷：非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上．

13．定积分
__ ___．

14．已知平面向量
，则向量
与向量
的夹角为_ ___.

15．已知数列
中
是数列
的前

项和，则
.

16．已知
点为△
的重心，且
，若
，则实数
的值为 .

三、解答题：本大题共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．

17．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分（Ⅱ）小问5分）

函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最大值，并写出
取最大值时
的取值集合；

（Ⅱ）若锐角
满足
，求
的值.

18.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知数列
满足
，
，
，
.

（Ⅰ）证明数列
为等差数列，并求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列
的前
项和
.[

19. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问4分）

已知△
的三个内角
所对的边分别为
，向量
，
，且
∥
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）已知
是
的中线，若
，求
的最小值．

20. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

已知函数
.

（Ⅰ）求证：函数
有且只有一个零点；

（Ⅱ）对任意实数
（
为自然对数的底数），使得对任意
，

恒有
成立，求
的取值范围.

21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知函数
，
，其中
为自然对数的底数.

（Ⅰ）设
，求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）过原点分别作曲线
与
的切线
，已知两切线的斜率互为倒数，

求证：
或
．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.

如图所示，已知
是⊙
切线，
为切点，
为割线，弦
，
相交于
点，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
四点共圆；

（Ⅱ）若
，
，求
的长． 第22题图

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L:
，曲线
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）求直线L和曲线
的普通方程；

（Ⅱ）在曲线
上求一点
，使得
到直线L的距离最小，并求出这个最小值.

24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲

已知关于
的不等式
对
恒成立．

（Ⅰ）求实数
的最大值；

（Ⅱ）若
为正实数，
为实数
的最大值，且
，

求证：
．

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数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：1—5：D C A C A 6—10：B C C D B 11—12：B A

二、填空题：．13．
14．
15．
16．

三、解答题：

17.（Ⅰ）解：由

……………………4分

∴函数
的最大值为
．此时
， ……………………………………5分

∴
，解得
，
．

故
的取值集合为
． …………………………………………7分

（Ⅱ）∵锐角
满足
，∴
……………………………8分

∴
……………………………………………………………10分

…………………12分

18.（Ⅰ）证明：由
得：
，……………………………………1分

即：
，

∴
以
首项，
为公差的等差数列，……………………………………………………3分

∴[
，∴
，…………………………………………………5分 （Ⅱ）

………………6分

设
，

两式相减得：
，

∴
………………………………………………………………………9分

设
，

则
……………11分

∴
…………………………………12分

19. 解：（Ⅰ）∵
∥
∴
， …………………………………1分

由正弦定理得：
，………………………………2分

即：
，∴
，∴
…………………………………………4分

∴
…………6分

∵
，∴
∴

∴
，即：
． ……………………………………………8分

（Ⅱ）延长
至E，使
，连结
，则
为平行四边形，

由
得
，即
，……………………………………10分

由
，
，即

∴
的最小值为
………………………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）：由
知：
，
，…2分

∴
在
上为减函数，…………………………………………………………3分

又
，
，∴
在
上有零点，…………5分

∴函数
有且只有一个零点.…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
在
上为减函数，∴
最小值为
，……………7分

只需
即：
对任意
成立，

设
，
……………8分

∵
恒成立，∴当
时，
，当
时，
，

∴
在
是减函数，在
上为增函数，
的极小值为
…………10分

又
，
，∴
在
上的最大值为
…………………11分

∴
，即
………………………………………………………………………12分

21.（Ⅰ）解：
，
……………………………………1分

令
>0得
， 令
<0得
，

所以,函数
在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数，……………………………3分

∴当
时，
在
上是增函数，∴
…4分

当