重庆南开中学2016届高三12月月考

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、抛物线
的焦点到准线的距离为（ ）

A、
B、
C、2 D、4

3、已知命题
对任意
，有
，则（ ）

A、
存在
，使
B、
对任意
，有

C、
存在
，使
D、
对任意
，有

4、若
为圆
的弦
的中点，则直线
的方程为（ ）

A、
B、

C、
D、

5、等比数列
的前
项和为
，且
成等差数列，若
，则
（ ）

A、7 B、8 C、15 D、16

6、已知函数
，若将函数
的图像向左平移
个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数
（ ）

A、
B、
C、
D、

7、已知
为区域
内的任意一点，当该区域的面积为2时，
的最大值是（ ）

A、5 B、0 C、2 D、

8、已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点
重合，若抛物线
与该椭圆在第一象限的交点为
，椭圆的左焦点为
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、2

9、已知函数
的导函数为
，若使得
成立的
，则实数
的取值范围为（ ）

A、
B、
C、
D、

10、正三角形
内一点
满足
，则
的值为（ ）

A、
B、
C、
D、

11、已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线
的右支相交于
两点，若
，且
，则双曲线的离心率
（ ）

A、
B、
C、
D、

12、已知数列
满足：
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相对应位置上。

13、已知向量
，若
，则实数
。

14、若实数
满足
，且
，则
的最大值为 。

15、已知
，若函数
在
上有两个不同零点
、
，则
。

16、设点
是椭圆
上两点，若过点
且斜率分别为
的两直线交于点
，且直线
与直线
的斜率之积为
，
，则
的最小值为 。

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

设等差数列
的前
项和为
，
，
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
，求证：
。

18、（本小题满分12分）

在
中，已知角
、
、
的对边分别为
，且
。

（1）求
的大小；

（2）若
，试判断
的形状。

19、（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为
，抛物线
的焦点为
。

（1）若过点
的直线
与抛物线
有且只有一个交点，求直线
的方程；

（2）若直线
与抛物线
交于
、
两点，求
的面积。

20、（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别是
，
，点
为椭圆
上任意一点，且
面积最大值为
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
、
两点（点
在第一象限），
、
是椭圆上位于直线
两侧的动点，若
，求证：直线
的斜率为定值。

21、（本小题满分12分）

已知函数
。

（1）当
时，求函数
在
上的极值；

（2）若
，求证：当
时，
。

（参考数据：
）

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
中，
为
外接圆劣弧
上的点（不与点
、
重合），延长
，延长
的延长线于
。

（1）求证：
；

（2）求证：
。

23、（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线
（
为参数），
（
为参数）。

（1）将
的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线
：
的距离的最大值。

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
。

（1）解不等式
；

（2）已知
，若
恒成立，求实数
的取值范围。

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