高2016届高三第一学期期中考试

数学（文科）试题

数学（文科）试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷：选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.

1.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知复数
（
虚数单位），则

A．
B．
C．
D．

3.已知数列
的前
项和为
，当
时，

A．
B．
C．
D．
[:]

4.已知命题甲：函数
是R上的单调递增函数；乙：
，则甲是乙的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某种产品的广告费支出
与销售额
（单位：万元）之间有如下对应数据：

2

4

5

6

8





30

40





70



根据上表数据得知
关于
的线性回归方程为
，则表中
的精确值为

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
，则函数
在点
处的切线方程为

A．
B．
C．
D．

7．命题
：
是周期为
的周期函数，命题
：
是偶函数，则下列命题中为真命题的是

A.
B.
C.
D.

8.已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9.已知实数
满足：
，若
的最小值为
，则实数

A．
B．
C．
D．
[:]

10.在正方形
的边长为
，
，
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

11．定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，都有
.

则下列结论正确的是

A．
B．

C．
D．

12.设函数
，实数
,且
,则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷：非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上．

13．函数
的零点个数为____ ___．

14．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数

元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容

量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数

据落在［6,14)内的频数为_ ___.

15．若
，
，

则
．

16．已知数列
中
是数列
的前
项和，则
.

三、解答题：本大题共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．

17．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分（Ⅱ）小问5分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最大值，并写出
取最大值时
的取值集合；

（Ⅱ）若锐角
满足
，求
的值.

18．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分（Ⅱ）小问6分）

设等比数列
的前
项和
，已知
，且
成等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问4分）

2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：

（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，

求其年人均用水量都不超过30吨的概率；

（Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为
，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问4分）

已知△
的三个内角
所对的边分别为
，向量
，
，且
∥
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）已知
是
的中线，若
，求
的最小值．

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分（Ⅱ）小问5分）

已知
．

（Ⅰ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）证明：对一切
，都有
成立，其中
为自然对数的底数．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图所示，已知
是⊙
切线，
为切点，
为割线，弦
，
相交于
点，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
四点共圆；

（Ⅱ）若
，
，求
的长． 第22题图

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L:
，曲线
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）求直线L和曲线
的普通方程；

（Ⅱ）在曲线
上求一点
，使得
到直线L的距离最小，并求出这个最小值.

24.(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲

已知关于
的不等式
对
恒成立．

（Ⅰ）求实数
的最大值；

（Ⅱ）若
为正实数，
为实数
的最大值，且
，

求证：
．

高2016届高三第一学期期中考试

数学（文科）参考答案及评分意见

一、选择题：1—5：A C B A D 6—10：B A A C D 11—12：D B

二、填空题：13．
14．
15．
16．

三、解答题：

17.解（Ⅰ）：由

……………………4分

∴函数
的最大值为
．此时
， ……………………………………5分

∴
，解得
，
．

故
的取值集合为
． …………………………………………7分

（Ⅱ）∵锐角
满足
，∴
……………………………8分

∴
……………………………………………………………10分

…………………12分

18.解：（Ⅰ）设等比数列
的公比为
，∵
成等差数列，

∴
，即：
，…………………………………………………2分

∵
，∴
∴
，
………………………………………4分

∴
………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

∴
…………………………………………………7分

…………………………………………………8分

两式相减得：
……………………………11分

∴
………………………………………………………………………………12分

19解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：

（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个．……………………………………………………………………………………3分

其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:

（19,25），（19,28），（25,28）共3个．……………………………………………………6分

设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为
，则所求的概率为
．……………………………………………………………8分

（Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为
，则其城区的居民用户数为
．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：

．……………………………………………………………11分

故此方案符合国家“保基本”政策………………………………………………………12分

20. 解（Ⅰ）：∵
∥
∴
， ………………………………………1分

由正弦定理得：
，……………………………………2分

即：
，∴
，∴
………………………………………………4分

∴
………………6分

∵
，∴
∴

∴
，即：
． ……………………………………………8分

（Ⅱ）延长
至E，使
，连结
，则
为平行四边形，

由
得
，即
，……………………………………10分

由
，
，即

∴
的最小值为
………………………………………………………………………12分

21解：（Ⅰ）由题意知
，
，…………………………………1分

∴当
，
，
单调递减，

当
，
，
单调递增．……………………………………3分

∵
，∴

∴①当
时，
；……………………………………5分

②当
时，
在
上单调递增，
；

∴
． ……………………………………………………7分

（Ⅱ）问题等价于证明
成立，由（Ⅰ）可知
的最小值是
，当且仅当
时取到．…………………………………………8分 　　　　　　　　　　　　　　　　

设
，则
，

∴
在
上单调递增，
上单调递减；………………………………10分

∴
，当且仅当
时取到， ………………………………11分

∴对一切