天津一中2015-2016-1高三年级第二次月考数学试卷（理科）

一、选择题：

1.“
”是“
”的（ A ）.

A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2．右图是计算
的值的一个程序框图，其中判

断框内应填入的条件是（ C ）

A.
B.
C.
D.

3.若

是虚数单位
，则
的值为 （ D ）

A．
B.
C．
D.

4.将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移
个单位，所得函数图像的一条对称轴为（ C ）

A．
B.
C.
D.

5.已知实数
满足
，则下列关系式恒成立的是（ D ）．

B．
C．
D．

6.若
、
满足约束条件
，其中
，则
的最大值为 （ B)

A．1　　　　 　B．3　　　　　 C．-3　　　　　　　D．5

7.已知正项数列{
}的前n项的乘积等于Tn=
(
)，
，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（ D ）

A．S6 B.S5 C.S4 D.S3

8.已知函数
，把函数
的零点按照从小到大的顺序排成一个数列
，则该数列的通项公式为 （ C ）.

A.

B.

C.

D.

二、填空题：

9．一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积

为__
___.

10.函数

且
的图象恒过定点
，

若点
在直线
上，其中
，则
的

最小值为 8 ．

11. 定义
是向量a和b的“向量积”，它的长度
为向量
和
的夹角，若
=
.

12. 如图，
是圆
的切线，
是切点，直线
交圆
于

、
两点，
是
的中点，连结
并延长交圆
于点
，

若
，∠
，则
___
_____．

13.圆
上的动点P到直线
的最短距离为__
________.

14.关于实数
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是____
______.

三． 解答题(共6题，80分)

（15）已知向量

(Ⅰ)当
的值；

（Ⅱ）求
上的值域．

（1）
，

……………………3分

… ………6分

（2）
，

，
… ……10分

∴函数
………………13分

（16）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用
表示取球终止时所需要的取球次数．

(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；

(Ⅱ)求随机变量
的概率分布及数学期望
；

(Ⅲ)求甲取到白球的概率．

(Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：
，所以
=12，解得n=4(舍去
),即袋中原有4个白球…………………(4分)

(Ⅱ)由题意,
的可能取值为1，2，3，4……………………………………(5分)

1

2

3

4



P












所以，取球次数
的分布列为：

…

…………………………………(11分)

(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，

则
或 “
=3”）,所以
………(13分)

（17）已知四棱锥
的底面为直角梯形，AB//CD，
，PA
底面ABCD，且PA=AD=DC=
，AB=1，M是PB的中点。

(Ⅰ)证明：平面PAD
平面PCD

（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值

（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值

解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
.

（Ⅰ）证明：因

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）

（18）各项均为正数的数列
中，
是数列
的前
项和，对任意
，有

(Ⅰ) 求常数
的值； （Ⅱ） 求数列
的通项公式；

（Ⅲ）记
，求数列
的前
项和
。

解：（1）由
及
，得：

3分

（2）由
①

得
②

由②—①，得
4分

即：

由于数列
各项均为正数，

即
6分

数列
是首项为
，公差为
的等差数列，

数列
的通项公式是
8分

（3）由
，得：

9分

13分

（19）已知函数
满足
，使
成立的实数
只有一个． (Ⅰ)求函数
的表达式；（Ⅱ）若数列
满足
证明数列
是等比数列，并求出
的通项公式；（Ⅲ）在（2）的条件下，证明：

解：（1）
得
．由
只有一解，即
，
只有一解，
，

（2）
，
，

为等比数列，
，
，

（3）
，

（20）设函数
.

（Ⅰ）若x＝时，
取得极值，求
的值；

（Ⅱ）若
在其定义域内为增函数，求
的取值范围；

（Ⅲ）设
，当
=－1时，证明
在其定义域内恒成立，并证明
（
）

，

（Ⅰ）因为
时，
取得极值，所以
，

即
故
． ……………………………………………4分

（Ⅱ）
的定义域为
.

在
上恒成立

参数分离得：
，

令

当且仅当
时h(x)的最小值为

则
的取值范围是
.………………………………………8分

（Ⅲ）证明：
，当
=－1时，
，

其定义域是
，

令
，得
.则
在
处取得极大值，也是最大值.

而
.所以
在
上恒成立.因此
.………………10分

因为
，所以
.则
.

所以

=
<

=
=
. 所以结论成立 ……14分

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