衡水市第二中学15--16学年上学期考试

高三年级数学(理科)试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求。）

1.复数
在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2．设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为

（　　）

A．{0} B．{0，3} C．{1，3，4} D．{0，1，3，4}

3．已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣
|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是( )

A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）

4．某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为

A．
　　 B．
　　

C．
　　 D．

5.已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，m
α，n
β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n
β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（　）

A 1 B 2 C 3 D 4

6..函数
的定义域和值域都是
，则
（　）

A.1 B.2 C.3 D. 4

7．下列三个数：
，大小顺序正确的是（　）

8.函数
的图象如下图所示，为了得到
的图像，可以将
的图像 （）

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

9．在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=（　　）

A．132 B．299 C．68 D．99

10. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BC=AC ，AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1,②A1B⊥NB1 ,③平面AMC1⊥平面CBA1 , 其中正确结论的个数为 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

11.设
为单位向量，若向量
满足
，则
的最大值是（ ）

A.
B.2 C.
D．1

12．已知
是定义在R上的偶函数，其导函数为
，若
，且

，
，则不等式
的解集为（　　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.设
为锐角,若
,则
的值为______

14.已知
满足约束条件
若目标函数
的最大值

为7，则
的最小值为_________.

15．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为　　　　　　．

16.
己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数a的取值范围为

三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

17. (本小题满分10分)（1）已知函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－a｜．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

（2）．如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．

（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC； （Ⅱ）若HE=4，求ED．

18. (本题满分12分) 在
中，角
的对边分别为
，且
，
，（1）求角B的大小；

（2）若等差数列
的公差不为零，且
=1，且
成等比数列，求
的前
项和

19．(本小题满分12分)已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足an+1=
，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值．

20. (本小题满分12分)已知函数f（x）=2
sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．

（1）当x∈
时，求f（x）的值域；

（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
=
，
=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

21. (本小题满分12分)

已知函数
．

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)

时，讨论
的单调性；

(Ⅲ)若对任意的
恒有
成立，求实数
的取值范围．

22、(本题满分12分)已知函数
．

（I）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（II）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（III）试证明：
.

衡水市第二中学15--16学年上学期考试

高三年级数学(理科)试题答案

ADBBC CABBD AA

13.
14.7 15.解答： 解：由
a﹣2csinA=0及正弦定理，得
﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），

∴
，∵△ABC是锐角三角形，∴C=
．∵c=2，C=
，由余弦定理，
，即a2+b2﹣ab=4，∴（a+b）2=4+3ab
，化为（a+b）2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b的最大值是4．故答案为：4． 16.

17.【解析】（1）由不等式的性质得：
，要使不等式
恒成立，则只要
，解得：
，所以实数
的取值范围为
…4分

（2）．（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB∴∠DBE=∠DBC…（7分）

（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB∴∠ADB=90°，又由（1）得∠DBE=∠DBH，∵HE=4，∴ED=2．…10分

18、【解】：（1）由
所以
，又
由
，
，
，则
为钝角。
，则
解得
。…6分

(2)设
的公差为
， 由已知得
， 且
.∴
．

又
, ∴
. ∴
. ……9分 ∴
. ∴

…………12分

19.解答： 解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，即4a3=a1，于是
，∵q＞0，∴
；∵a1=1，∴
．

（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；

当q≠1时，
，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴
，

∵q＞0，∴
，∵a1=1，∴
．

（Ⅱ）∵
，∴
，∴
，

∴
（1）∴
（2）

∴（1）﹣（2）得：
=
∴

∵Tn≥m恒成立，只需（Tn）min≥m∵

∴{Tn}为递增数列，∴当n=1时，（Tn）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．

20.解答： 解：（1）∵f（x）=2
sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=
sin2x﹣3?
﹣
+3

=
sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+
）+1，∵x∈
，∴2x+
∈(
，
)，…6分

∴sin（2x+
）∈（
，1]，∴f（x）=2sin（2x+
）+1∈（0，3]；…6分

（2）∵
=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），

∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由
=
可得b=
a，由余弦定理可得cosA=
=
=
，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=2 …12分

21.(Ⅰ)函数
的定义域为
．
，令
，

得
；
（舍去）． 2分

当
变化时，
的取值情况如下：











—

0







减

极小值

增



所以，函数
的极小值为
，无极大值． 4分

(Ⅱ)
，令
，得
，
，

当
时，
，函数
的在定义域
单调递增； 5分

当
时，在区间
，
，上
，
单调递减，

在区间
，上
，
单调递增； 7分

当
时，在区间
，
，上
，
单调递减，

在区间
，上
，
单调递增． 8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当
时，函数
在区间
单调递减；所以，当
时，
，
10分

问题等价于：对任意的
，恒有
成立，即
，因为a<0，
，
所以，实数
的取值范围是
． 12分

22.试题解析：（Ⅰ）由题
..2分

故
在区间
上是减函数;…………3分