衡水市第二中学15--16学年上学期期中考试

高三年级数学文试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，且
，则实数
的取值范围是 A．
B．
C．
D．

2.复数 ( 为虚数单位) ，则 =（ ）

A B C D

3、已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，m
α，n
β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n
β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（　）

A 1 B 2 C 3 D 4

4. 已知锐角
的终边上一点
，则锐角
=

A.
B.
C.
D.

5.已知函数
是定义在R上的最小正周期为3的奇函数，当
时，
，则

A. 0 B. 1 C. -1 D. 2

6．把函数f（x）=sin（2x+φ）
的图象向左平移
个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于
对称，则
=( )

A．
B．
C．
D．

7．已知
，
满足约束条件
若
的最小值为
，则

8．
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，
，
，则
的最小值等于（ ）.

A．
B．
C．
D．

10．在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a，b，c，且
则b等于

A．3 B．4 C．6 D．7

11．已知四面体P－ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC＝
, 若四面体P－ABC的体积为
,则该球的体积为

A．
B．
C．
　　　　D．

12.
己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为

(A)(3，+∞) (B)(3，
) (C) (一∞，
] (D)(0，3)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知数列
为等差数列，
为其前
项和，若
,则
等于 ．

14.已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为

15．若a>l，设函数f（x）=ax+x －4的零点为m，函数g（x）= logax+x－4的零点为n，则
的最小值为

16已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是

三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分10分)已知函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－a｜．

（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥4；

（2）若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

18．已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足an+1=（
）
，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值．

19. (本小题满分12分)

在
中，角
的对边分别为
，且
，
，
边上的中线
的长为
.

求角
和角
的大小； (2)求
的面积

20．(本小题满分12分)如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．

（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；

（Ⅱ）求证：平面A1CD⊥平面A1BC；

（Ⅲ）若AB=10，BC=6，求三棱锥A1﹣BCD的体积．

21、(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝
，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段AD上是否存在点
，使得它到平面PCD的距离为
？若存在，求出　的
值；若不存在，请说明理由.

22已知函数
（其中
），函数
在点
处的切线过点
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
与函数
的图像在
有且只有一个交点，求实数
的取值范围.

衡水市第二中学15--16学年上学期考试

高三年级数学试题答案

1-5.ACCDC 6-10.ABBDB 11-12.AB

-6 14. 15.1 16.4+4
+2
cm2

17【解析】（1）当
时，由
得，
，

或
或
解得：
，或
．… 4分

原不等式的解集为
或
． …… 2345b nm/…………………5分

（2）由不等式的性质得：
，

要使不等式
恒成立，则只要
，……………………8分

解得：
，所以实数
的取值范围为
…10分

18解答： 解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）

∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，

即4a3=a1，于是
，∵q＞0，∴
；

∵a1=1，∴
．

（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）

当q=1时，不符合题意；

当q≠1时，
，

∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴
，

∵q＞0，∴
，

∵a1=1，∴
．

（Ⅱ）∵
，∴
，∴
，

∴
（1）

∴
（2）

∴（1）﹣（2）得：

=
∴

∵Tn≥m恒成立，只需（Tn）min≥m

∵

∴{Tn}为递增数列，∴当n=1时，（Tn）min=1，

∴m≤1，∴m的最大值为1．

19.解：（1）由

所以
，又

由
，
，
，则
为钝角。

，则
解得
。

（2）由（1）知，
，由余弦定理得，

所以

20解答：

解：（I）因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，

所以A1O⊥平面BCD．

又BC?平面BCD，

所以BC⊥A1O．

又BC⊥CO，CO∩A1O=O，CO?平面A1CD，A1O?平面A1CD，

所以BC⊥平面A1CD．

又A1D?平面A1CD，

所以BC⊥A1D．

（II）因为矩形ABCD，所以A1D⊥A1B．

由（I）知BC⊥A1D．

又BC∩A1B=B，BC?平面A1BC，A1B?平面A1BC，

所以A1D⊥平面A1BC．

又A1D?平面A1CD，

所以平面A1BC⊥平面A1CD．

（III）因为A1D⊥平面A1BC，

所以A1D⊥A1C．

因为CD=10，A1D=6，所以A1C=8．

所以

21（1）证明：因为PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD，又因为面PAD⊥底面 ABCD ，面PAD
底面 ABCD=AD，PO
面PAD，所以PO⊥面ABCD； （4分）

（2）假设存在点Q，因为PO⊥平面ABCD，所以
,

连接CO，可得PD=PC=CD=
,所以
,
，
，

,
, 所以存在点Q，且
。 （12分）

22.解：（1）
，

，切线过点
，

① 当
时，
单调递增，
单调递减

② 当
时，
单调递减，
单调递增 ………5分

（2）等价方程
在
只有一个根

即
在
只有一个根

令
，等价函数
在
与
轴只有唯一的交点

① 当
时，
在
递减，
的递增

当
时，
，要函数
在
与
轴只有唯一的交点

或
，
或
……………9分

②当
时，
在
递增，
的递减，
递增

，当
时，
，

在
与
轴只有唯一的交点 ……………10分

③当
，
在
的递增

在
与
轴只有唯一的交点

故
的取值范围是
或
或
. ……………12分