长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段考试

数 学 试 题 （理）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

1.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.若复数满足：
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或7

5. 已知
，
，
，则
（ ）

A．22 B．48 C．
D．32

6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体

的体积为（ ）

A.

B.

C.

D.

7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是
,则（ ）

A．

B．

C．

D．

8.设
，且
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

9.曲线
与直线
围成的封闭图形的面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知
为区域
（
）内的任意一点，当该区域的面积为
时，
的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

11.
是椭圆
：
上的动点，以
为切点做椭圆
的切线
，交圆
于
两点，当
的面积最大时，直线
的斜率
（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 如图，正方体
的棱长为
，动点
在对角线
上，过点
作垂直于
的平面
，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为
，设
，则当
时，函数
的值域为（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.已知向量
，
，若
与
的夹角为钝角，则实数
的取值范围是 .

14.已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
，
，
，则此球的表面积等于_______________.

15.设
为等差数列，从
中任取
个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有 个.

16.给定下列四个命题：

（1）若
，
，则
；

（2）
是等比数列
的前
项和，则必有：
；

（3）函数
的图像有对称轴；

（4）
是
所在平面上一定点，动点P满足：
，

，则直线
一定通过
的内心；

其中正确命题的序号为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. （本小题满分12分）

在
中，已知
，

（1）求
的取值范围；

（2）若
边
上的高
，求
面积
的最小值.

18. （本小题满分12分）

设数列
满足：
，
，
，

（1）设
，求证：
为等差数列；

（2）设
，且
的前
项和为
，证明：
.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
为等边三角形，
，点
为
中点，平面
平面
.

（1）求异面直线
和
所成角的余弦值；

（2）求二面角
的大小.

20.（本小题满分12分）

已知曲线
的图形如图所示，其上半部分是半椭圆
，下半部分是半圆
，（
），半椭圆内切于矩形
，且
交
轴于点
，点
是半圆上异于
的任意一点，当点
位于点
时，
的面积最大.

（1）求曲线
的方程；

（2）连接
分别交
于
，求证：
是定值.

21. （本小题满分12分）

设函数
，

（1）证明：
是
上的增函数；

（2）设
，当
时，
恒成立，求
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形
边长为2，以
为圆心、
为半径的圆弧与以
为直径的半圆
交于点
，连结
并延长交
于点
.

（1）求证：
；

（2）求
的值.

23. （本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
，（
是参数，
是常数）

（1）求
的直角坐标方程和
的普通方程；

（2）若
与
有两个不同的公共点，求
的取值范围.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知：

（1）关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）若
，且
，求
的取值范围.

长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段（12月）

考试数 学 试 题 （理）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

C

A

B

C

A

D

D

C

D



二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.
且
14.
15.
16. ①②

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.解析：（1）在
中，
，……..2分,由
，
都是锐角，所以
，当
时……5分

有最小值，故
……..6分

（2）设
，则
，……….8分

所以
，即：
，且
，……分10

所以：
，当
时“等号”成立

面积
的最小值为
………..12分

18.解析：（1）由条件知：
时，
，所以：
………….3分

由于
，即：
，故
是首项为
，公差
的等差数列…………5分

（2）由（1）知：
，………….6分

所以：

…………8分

所以：

………….12分

19.解析：

解：取
的中点
，连接
，

为等边三角形，

，又平面
平面
，

……2分

以
为原点，过点
垂直
的直线为
轴，
为
轴，
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
.

，不妨设
,依题意可得：

……… 3分

（1）
,从而
,

……… 5分

于是异面直线
和
所成角的余弦值为
………….6分

（2）因为
，所以
是平面
的法向量，……….8分

设平面
的法向量为
，又
，

由
即
，令
得
…………. 10分

于是
………….11分

从而二面角
的大小为
. ……………12分

20.解析

（1）已知点
在半圆上，所以
，……………2分

当半圆在点
处的切线与直线
平行时，
点到直线
的距离最大，

此时
的面积最大.

所以
，由于
，所以
，由
，

所以
…………4分

曲线C的方程为：
或
………5分

（2）
，设
，则有：
：
，

令
，
，所以：

同理：
………8分

所以：

，

又由
，得
，代入上式得

[来源:学科网ZXXK]

………12分 所以
为定值

21.解：若证明
是
上的增函数，只需证明
在
恒成立，

即：


-------4分

设
，

所以：
在
上递减，
上递增，