潞河中学2016届高三上学期期中考试

数学（文）试题

一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

1.已知全集
, 集合
,
, 则

等于

A．
B．
C．
D．

2.若将复数
表示为
，
是虚数单位)的形式,则
的值为( )

A．-2 B．
C．2 D．

3.已知平面
和直线
，且
，则“
∥
”是“
∥
”的( )

A.充要条件　　 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知
为等差数列
的前
项的和，
，
，则
的值为（ ）

A．6 B．
C．
D．

5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A．12 B．6 C． 4 D．2

6.函数
的图象与函数
的图象的交点个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.在
中，
是
的中点，
，点
在
上，且满足
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.函数
是定义在
上的偶函数，且对任意的

，都有
.当
时，
．若直线
与函数
的图象有两个不同的公共点，则实数
的值为　　　　　　　　　（　　）

A.


　B.

　C.
或

D.
或

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

9已知角
的终边经过点
，则

10.已知向量
，
，
，若
与
垂直，则
=______。

11.已知点
的坐标满足条件
那么
的取值范围是 ．

12.已知
，则
的最小值为________．

13.已知函数
，
．那么下列命题中所有真命题的序号是 .


的最大值是

的最小值是


在
上是减函数 
在
上是减函数

14.我们可以利用数列
的递推公式
（
）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则
_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_______项.

三、解答题． (本大题共6小题，满分80分)

15．(13分) 在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
．已知

=60°，

(Ⅰ)求边长
和?ABC的面积；

(Ⅱ)求sin2A的值．

16． (13分) 已知函数

(Ⅰ)求
的最小正周期及单调递减区间；

(Ⅱ)求
时函数
的最大值和最小值．

17． (13分) 如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
分别是
，
的中点．

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)判断直线
和平面
的位置关系，并加以证明．

18． (13分) 已知数列
，其前
项和为
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式，并证明数列
是等差数列；

(Ⅱ)若数列
满足
，求数列
的通项公式，并证明数列
是等比数列；

(Ⅲ)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.

19． (14分) 已知函数
.

(Ⅰ)当
时， 若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，求实数
的值；

(Ⅱ)若
，都有
，求实数
的取值范围.

20． (14分) 已知函数

(Ⅰ)若
求
在
处的切线方程；

(Ⅱ)求
在区间
上的最小值；

(Ⅲ)若
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围.

参考答案

1.B 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D

9
10. -1 11.
12. 2 13. 14. _28___640__.

15.

解：（1）由余弦定理，

（2）由正弦定理，
，则

因为a

16.

解：（1）

T=π

由
得，

所以单减区间是

（2）

当
时，f(x)取得最小值

当
时，f(x)取得最大值

17.

证明：(Ⅰ)方法一：因为

平面
，

所以
是
在平面
内的射影．…… 4分

由条件可知


，所以
．……… 6分

方法二：因为

平面
，

又
平面
，所以


．

由条件
，即


，且

所以

平面
．… 4分

又
平面
，所以
．…… 6分

(Ⅱ)
平面
，证明如下： ………………… 8分

设
的中点为
，连接
，
．因为
，
分别是
，
的中点，所以



．

又
=

，


，所以


．

所以四边形
是平行四边形．所以


．…… 11分

因为

平面
，

平面
，所以
平面
．… 13分

18.解：(Ⅰ)当
时，

当
时，

．

又
满足
，
．

∵

，

∴数列
是以5为首项，
为公差的等差数列．

(Ⅱ)由已知得

，

，数列
是以8为首项，
为公比的等比数列.

(Ⅲ)

19.解：(I)当因为
,
………2分

若函数
在点
处的切线与函数
在点

处的切线平行，所以
，解得

此时
在点
处的切线为

在点
处的切线为

所以
……………5分

(II)若
，都有

(法一)则

令

(法二)记
，

只要
在
上的最小值大于等于0

……………6分

则
随
的变化情况如下表：













0







减

极小值

增



…………………8分

当
时，函数
在
上单调递减，
为最小值

所以
，得

所以
………10分

当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增 ，

为最小值，所以
，得

所以
…………13分

综上，
…………14分

20.(Ⅰ)

解：(I)

在
处的切线方程为
………………………..4分

(Ⅱ)由

由
及定义域为
，令

①若
在
上，
，
在
上单调递增，

因此,
在区间
的最小值为
.

②若
在
上，
，
单调递减；在
上，
，
单调递增，因此
在区间
上的最小值为

③若
在
上，
，
在
上单调递减，

因此,
在区间
上的最小值为
.

综上，当
时，
；当
时，
；

当
时，
. ……………………………….9分

(III) 由(II)可知当
或
时，
在
上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.

当
时，要使
在区间
上恰有两个零点，则

∴
即
，此时，
.

所以，
的取值范围为
……………………………………………14分

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