天津一中2015—2016学年度高三年级

第二次月考数学（文科）学科试卷

班级_________ 姓名__________ 成绩__________

本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷 1 页，第II卷 2 至5 页。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题 5分，共40 分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数
为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为 （ ）

A．－
　 B.
　 C. 2　　 D. 1

2. 已知命题
：
，总有
，则
为 （　　）

A、
，使得
B、
，使得

C、
，总有
D、
，总有

3. 设
，
，
，则 （　　）

A、
B、
C、
D、

4. 设
若
的最小值为（ ）

A、8 B、4 C、1 D、

5.在
中,若
,则
是 ( )

A．等腰或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

6.为得到函数
的图像，只需将函数
的图像 （ ）

A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位

7.数列
的首项为
，
为等差数列，且
.若则
，
，

则
（ ）

A．0 B．3 C．8 D．11

8.已知函数
是R上的可导函数，当
时，有
，则函数

的零点个数是 （ ）

A．0 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上）

9．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的
的值是 30 _______

10．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
.

11．数列{
}中，
，则{
}的通项公式为
=

12．已知向量
，
，若
，则
= -3

13．在等腰梯形ABCD中,已知
,
点E和点F分别在线段BC和CD上,且
则
的值为
．

14．设a + b = 2, b>0, 则
的最小值为
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分13分）

16．（本小题满分13分）

△
中，角
所对的边分别为
，已知
=3，
=
,
,

求
的值；（2）求△
的面积.

解答：

（I）在
中，由题意知
，

又因为
，所以
，

由正弦定理可得
.

（II）由
，所以
，

由
,得
.

所以

.

因此，
的面积
.

17．（本小题满分13分）

如图在四棱锥
中，底面
是菱形，

,
底面
，
是
的中点，
是
中点。

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：平面
⊥平面
；

（3）求
与平面
所成的角。

证明：（1）取PD中点为M，连ME，MF ∵ E是PC的中点

∴ ME是△PCD的中位线

∴ ME

CD ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形，AB
CD

∴ ME
FB ∴ 四边形MEBF是平行四边形 …………2分

∴ BE∥MF …………………3分

∵ BE
平面PDF ,MF
平面PDF ∴ BE∥平面PDF ………4分

（2） ∵ PA⊥平面ABCD DF
平面ABCD ∴ DF⊥PA……………5分

∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=600 ∴ △DAB为正△

∵ F是AB中点 ∴ DF⊥AB ……………6分

∵ PA、AB是平面PAB内的两条相交直线 ∴ DF⊥平面PAB ………7分

∵ DF
平面PDF ∴ 平面PDF⊥平面PAB ………………8分

（3）连BD交AC与O、连EO ∵ 底面ABCD是菱形 ∴ BO⊥AC

∵ PA⊥平面ABCD BO
平面ABCD ∴ BO⊥PA

∵ PA、AC是平面PAC内的两条相交直线 ∴ BO⊥平面PAC …………9分

∴ EO是BE在平面PAC内的射影

∴ ∠BEO是BE与平面PAC所成的角 ………………10分

∵ O是AC、BD的中点 ∴ BO=1，EO是△PAC的中位线 ∴ EO=
PA=1

∴ 在直角△BEO中，tan∠BEO=
=1 ∴ ∠BEO=450

∴ 直线BE与平面PAC所成的角为450 …………………12分

18．（本小题满分13分）

设等差数列
的公差为
，点
在函数
的图象上（
）.

（1）证明：数列
是等比数列；

（2）若
，函数
的图象在点
处的切线在
轴上的截距为
，求数列
的前
项和
.

19．（本小题满分14分）

已知数列
中，
，
，
是数列
的前
项和，且
，
.

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）若

是数列
的前
项和，

且
对一切
都成立，求实数
取值范围.

（Ⅰ）因为
，
，所以
(3分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
， 所以

所以
所以

所以当
时，

所以

，，，
，

所以
所以
，
.

因为
满足上式，所以
，
.………………………….. 6分

（Ⅲ）当
时，
…….. 7分

又
，

所以

…….. 9分

所以
………………………….. 10分

因为
对一切
都成立，

即
对一切
都成立.

所以
. ………….. 12分

因为
，当且仅当
，即
时等号成立.

所以
. 所以

所以
………………………….. 14分

20．（本小题满分14分）

已知函数

（I）求
的单调区间;

（II）设曲线
与
轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为
,求证:对于任意的正实数
,都有
;

（III）若方程
有两个正实数根
且
,

求证:
.

【答案】（I）
的单调递增区间是
,单调递减区间是
;（II）见试题解析;（III）见试题解析.

【解析】

根为
,可得
,由
在
单调递减,得
,所以
.设曲线
在原点处的切线为
方程
的根为
,可得
,由
在在
单调递增,且
,可得
所以
.

由于
在
单调递减,故
在
单调递减,又因为
,所以当
时,
,所以当
时,
,所以
在
单调递增,在
单调递减,所以对任意的实数x,
,对于任意的正实数
,都有
.

（III）由（II）知
,设方程
的根为
,可得
,因为
在
单调递减,又由（II）知
,所以
.类似的,设曲线
在原点处的切线为
可得
,对任意的
,有
即
.设方程
的根为
,可得
,因为
在
单调递增,且
,因此,
所以
.

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