余姚中学2 0 1 5学年度第 一 学 期高三数学（文）期中试题

2015年11月

（注：本试卷满分150分，时间120分钟，不准使用计算器）

第I卷 选择题部分（共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，且
，则集合
可能是 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．若
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．函数
则函数
是（ ）

A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

4．已知
是空间中两不同直线，
是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若直线
，
，则
B．若平面
，
，则

C．若平面
，
，则
D．若
，
，则

5．给出下列结论：①命题“
”的否定是“
”；②命题
或
，命题
则
是
的必要不充分条件；③数列
满足“
”是“数列
为等比数列”的充分必要条件；④“在三角形
中，若
,则
”的逆命题是真命题；⑤“若
”的否命题为“若
，则
” ．其中正确的是 ( )

A.③④ B.①②④⑤ C. ①③④⑤ D.①②③④⑤

6．在如图所示的空间直角坐标系
中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 （ ）

① ② ③ ④

A．①和② B．③和① C．③和④ D．④和②

7．已知
，设
，且
，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知向量
与
的夹角为
，
，
在
时取得最小值.当
时，夹角
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷 非选择题部分（共110分）

填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9．已知直线
：
,若直线
与直线
垂直，则
的值为 ▲ ； 若直线
被圆
：
截得的弦长为4，则
的值为 ▲ ．

10．在等差数列
中，若
,
,则
▲ ；数列
的前
项和
▲ ．

11．如图，在棱长为1的正方体
中，
是线段
的中点，
是平面
内的点，则
的最小值是 ▲ ；若
，则点
在平面
内形成的轨迹的面积等于 ▲ ．

12．设不等式组
所表示的平面区域为
，则区域
的面积为 ▲ ；若直线
与区域
有公共点， 则
的取值范围是 ▲ ．

13．设点
是曲线
上任意一点，其坐标
均满足
，则
取值范围为 ▲ ．

14．点
是双曲线
上一点，
是右焦点，且
为等腰直角三角形（
为坐标原点），则双曲线离心率的值是 ▲ ．

15．已知实数
满足
，且
，则
的最小值为 ▲ ．

解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分14分）已知向量
，函数
的图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为
．

(Ⅰ)求
的值，并求函数
在区间
上的单调增区间；

(Ⅱ)△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
，
，求b的值．

17.（本小题满分15分）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且有
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
,
时，若对任意
，都有
，求k的取值范围；

（Ⅲ）当
时，若
，求能够使数列
为等比数列的所有数对
．

18．（本小题满分15分）如图所示，
，
为等边三角形，
，
，
为
的中点.

（Ⅰ）求证
平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成角的正切值为
，求二面角
的正切值.

19．（本小题满分15分）已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物线
上一点且
的纵坐标为4，点
到焦点
的距离为5.

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）已知
，过点
任作一条直线与抛物线
相交于点
，试问在抛物线
上是否存在点
，使得
总成立？若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分15分）设函数
.

（Ⅰ）若
，当
时，
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅱ）若不等式
在区间
上无解，试求所有的实数对
.

余姚中学2 0 15学年度第 一 学 期高三数学（文）期中试题参考答案

（2015年11月）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题目

1

2

3

4

5

6

7

8



选项

A

C

A

D

B

D

B

C



二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.
，
10.
，
11.
，
12.

13.
14.

或

15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16． 【解析】(Ⅰ)解：
…4分

由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为
，所以
……5分

令
，解得
(k∈Z)

又
，所以所求单调增区间为
………………………8分

(Ⅱ)解：


或
(k∈Z)，又
，故
……………………10分∵
，∴
由正弦定理得
，∴
………………14分

17. 【解析】（1）当
时，由
解得
当
时，
，

，即

又
，综上有
，即
是首项为
，公比为t的等比数列

（Ⅱ）因为
,
，所以可得
，即
，
，

所以

因为
，所以整理可得
，

所以
.

（Ⅲ）
，

由题设知
为等比数列，所以有

，解得
，即满足条件的数对是
．

18．【解析】（Ⅰ）证明：

为等边三角形，
为
的中点，
．

，
． ……………3分

……5分

（Ⅱ）解：

，
，

．

直线
与平面
所成角为

……………7分

在
．

设
，则

． ……………9分

．

在平面
中，过
，连结
，则
．

为二面角
的平面角． ……………12分

,

二面角
的正切值为
． ……………………15分

19．【解析】（I）由题意有
，则有
，
或p=8，所以，抛物线方程为
……（5分）

（Ⅱ）
，
.假设在抛物线
上存在点
，使得
总成立.

设
，
，
，

则有
，

即
，又

得
，即
……① ……9分

设直线方程为
，代入
中，有
，从而
且
，代入①中得：
对于
恒成立，故
且
，解得
，得
……（14分）

若直线过点
，结论显然成立

所以，在抛物线
上存在点
，使得
总成立 ……（15分）

20．【解析】（Ⅰ）解：（I