2015-2016学年度“晋商四校”高三联考

数学试卷（理科）

本试卷满分150分 考试时间120分钟

一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）

1. 已知集合
，则集合
中元素的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2. 设向量
=
，
=
，则“
”是“
//
”的（?? ）

A．既不充分也不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．充分而不必要条件

3.曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A．
B.
C.
D.

4. 下列命题错误的是（? ? ）

A．命题“
”的逆否命题是“若
或
，则
”

B．“
”是”
”的充分不必要条件

C．命题“
或
”为真命题，则命题“
”和命题“
”均为真命题

D．命题
：存在
,使得
，则
：任意
,都有

5．使
为奇函数，且在
上是减函数的
的一个值是（ ）

.

.

.

.

6.为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像( )

．向左平移
个长度单位
．向右平移
个长度单位

．向左平移
个长度单位
．向右平移
个长度单位

7．已知非零向量
，
满足
，则
与
的夹角为（ ）

.

.

.

.

8．已知正实数
,
满足不等式
,则函数
的图象可能为（ ）

9. 若

，
，
均为单位向量，且
，则
的最大值是（?? ）

A．1 B．
C．
D．

10. 等比数列{
}的前n项和为
，若
（ ）
．

．

．

．

11．已知函数
的图像关于直线
对称，且当
时，
成立，
,
,
，则
的大小关系是（?? ）

A．
B．
C．
D．

12.已知点
是在△ABC内部一点，且满足
，则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（? ）

A．4:2:3 B．2:3:4 C． 4:3:2 D．3:4:5

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知
，且
与
垂直，则实数
的值为 .

14.已知
.

15.已知
，则函数
的零点的个数为_______.

16．已知定义在
上的奇函数
满足
，数列
的前
项和为
，且
，则
.

三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17．（本小题10分） 已知
：实数
满足
，其中
，

（1）若
，且
为真，求实数
的取值范围.

（2）若
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.

18．（本小题12分）已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值及取得最值时相应的
值．

19．（本小题12分） 已知
满足
.

（1）将
表示为
的函数
，并求
的单调递增区间；

（2）已知
三个内角
、
、
的对边分别为
、
、
，若
，且
，求
面积的最大值．

20.（本小题12分）

已知数列
满足递推式
，其中

（1）求数列
的通项公式；

（2）已知数列
,有
，求数列
的前n项和
.

21.（本小题12分）已知函数
.

(1)若
上存在极值点,求实数
的取值范围；

(2)当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.

22. （本小题12分）已知函数
，

（1）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

（2）令
，是否存在实数
，当

（
是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

（3）当

时，证明：

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数学参考答案与评分标准（理科）

一．选择题

B A




A

二、填空题

13．
14.
15． 3 16．

三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17．（本小题10分）

解：（1）由

当
……2分

由
…4分

若
为真，则
真且
真，所以实数
的取值范围是
………… 6分

（2）
………………9分

由
的充分不必要条件，有

故实数
的取值范围是
………………12分

18（本小题12分）

（1）

……4分

∴
………………6分

（2）∵
，∴
,∴
，∴
………………8分

当
，即
时，
………………10分

当
，即
时，
………………12分

19．（本小题12分）

解：（1）

所以
，……………3分

令
，得

的单调递增区间是
………………6分

（2）
又

……………8分

在
中由余弦定理有,

可知
(当且仅当
时取等号),

即
面积的最大值为
………………12分

20．（本小题12分）

（1）∵
，∴
………2分，

∴且
，∴数列{
}是公比为2的等比数列………………4分∴
，∴
即数列
的通项公式为
………………6分

（2）由（1）知
， ∴
=
………………8分

∴
①

， ②

①-②得
，

∴
，整理得
.………………12分?

21.（本小题12分）

解: (1)当
时,有
………………2分

；
，

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，函数
在
处取得唯一的极值.

由题意得
，解得实数
的取值范围为
……… 5分

（2）当

令
， 由题意，
恒成立，

…………9分

令
.

所以
，
，

因此，
，

所以
……………12分

22.（本小题12分）

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