银川一中2016届高三年级第四次月考

数 学 试 卷（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知
，P=
，则

A．
B．
C．
D．

2．命题“若x2+y2=0，x、y∈R，则x=y=0”的逆否命题是

A．若x≠y≠0，x、y∈R，则x2+y2=0 B．若x=y≠0，x、y∈R，则x2+y2≠0

C．若x≠0且y≠0，x、y∈R,则x2+y2≠0 D．若x≠0或y≠0，x、y∈R,则x2+y2≠0

3．在△ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学
,则
等于

A．
B．
C．
D．

4．设双曲线
的一条渐近线与抛物线
只有一个公共点，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

5．将函数
的图像向左平移
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是

A．
B．
C．
D．

6．函数
的零点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

7．若函数
的导函数为
，且
，则
在
上的单调增区间为

A．
B．
C．
和
D．
和

8．如果实数x、y满足关系
，则
的取值范围是

A．[3，4] B． [2，3] C．
D．

9．在数列
中，
，则
＝

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
对定义域
内的任意
都有
=
，且当
时其导函数
满足
若
则

A．
B．

C．
D．

11．已知集合M={
}，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M={
}； ②M={
}；

③M={
}； ④M={
}．

其中是“垂直对点集”的序号是

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

12．已知
，函数
，
，当
，
时，存在x,t使得
成立，则a的最小值为

A．4 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．点M是圆x2+y2=4上的动点，点N与点M关于点A（1，1）对称，则点N的轨迹方程是 .

14．设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),
≤x≤9,则f(x)的最小值为 .

15．抛物线
的动弦
的长为
，则弦
的中点
到
轴的最短距离为_______________。

16．对于实数
，定义运算“
”：
，设
，且关于
的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是_____。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知函数
在区间
上的最大值为2．

（1）求常数m的值；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，若
，

△ABC面积为
．求边长a．

18．（本小题满分12分）

等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，

且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求an与bn；

(2)求＋＋…＋.

19．(本小题满分12分).

已知过抛物线
的焦点，斜率为
的直线交抛物线于
，
两点，且

（1）求该抛物线的方程；

（2）
为坐标原点，
为抛物线上一点，若
，求
的值．

20．(本小题满分12分)

已知椭圆C：
的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点(
，-l)．

21．（本小题满分12分）

设函数
，其中
．

(1)若函数
图象恒过定点P，且点P关于直线
的对称点在
的图象上，求m的值；

(2)当
时，设
，讨论
的单调性；

(3)在(1)的条件下，设
，曲线
上是否存在两点P、Q，

使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

已知
中，
，D是
外接圆劣弧

AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分
CDE；

（2）若
，
中BC边上的高为2+
，

求
外接圆的面积．

23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为
，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（1）若
，解不等式
；

（2）如果
，
，求
的取值范围．

银川一中2016届高三年级第四次月考数学（理）答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

A

D

B

B

D

D

A

C

D

C



13.(ｘ－2)２+(ｙ－2)２＝4 14.-
15．
16.

17．解：（1）

∵
∴

∵ 函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数

∴当
即
时，函数
在区间
上取到最大值．

此时，
得

（2）∵
∴

∴
，解得
（舍去）或

∵
，

∴
①

∵
面积为
∴

即
…②

由①和②解得

∵

∴

18.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，

an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.

依题意有
解得

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋

＝＋＋＋…＋

＝(1－＋－＋－＋…＋－)

＝(1＋－－)

＝－.

19.解：（1）直线
的方程是
，与
联立，

从而有
所以

由抛物线定义得

从而抛物线方程为
…

（2）由
，可得
，从而
代入
得

从而
分

设
，

又
即
.…

解得
…………………

20、解（I）
等轴双曲线离心率为

21.（1）令
，则
，

关于
的对称点为（1，0），

由题知
.

（2）
，定义域为
，

.

∵
则
，

∴当
时，

>0,此时
在
上单调递增，

当
时，由
得

由
得

此时
在
上为增函数，

在
为减函数，

综上当
时，
在
上为增函数，

时，在
上为增函数，在
为减函数.

（3）由条件（1）知
.

假设曲线
上存在两点
、
满足题意，则
、
两点只能在
轴两侧，

设
则

∵△POQ是以
为直角顶点的直角三角形，

∴
,即
.①

（1）当
时，

此时方程①为

化简得
.

此方程无解，满足条件的
、
两点不存在.

（2）当
时，
，方程①为

即

设
则

显然当
时
即
在(2，+∞)为增函数，

∴
的值域为
即(0，+∞)

∴当
时方程①总有解.

综上若存在
、
两点满足题意，则
的取值范围是(0，+∞).

22．解：（Ⅰ）如图，设
为
延长线上一点，

四点共圆，
．

又
，

且
．

对顶角
，故
．

即
的延长线平分
．

（Ⅱ）设
为外接圆圆心，连接
交
于
，则
．

连接
．由题意
．

设圆半径为
，则
，得
，外接圆面积为
．

23.答案：解：（Ⅰ）由
得
．

从而
的直角坐标方程为
，即
．

时，
，所以
．
时，
，所以
．

（Ⅱ）
点的直角坐标为（2，0），
点的直角坐标为